Fundamentos de probabilidad y estadística

En una frase: la probabilidad describe el modelo del experimento y la estadística conecta los datos observados con ese modelo, pieza por pieza.

1. Dos preguntas, dos técnicas

Cuando alguien dice que hay alta probabilidad de que un paciente mejore, se está moviendo en el terreno de la probabilidad. Cuando dice que en esta muestra mejoró el 60 por ciento de los pacientes, se está moviendo en el terreno de la estadística. Ninguna de las dos frases es falsa; responden a preguntas distintas y se apoyan en evidencia distinta.

La diferencia se entiende por el lado del dato disponible. La probabilidad se puede razonar sin haber recolectado nada: basta con un experimento bien descrito y un modelo que diga qué resultados son posibles y con qué peso. La estadística, en cambio, necesita datos: necesita una muestra de la que extraer un resumen y un procedimiento que permita decidir si ese resumen puede extenderse al conjunto de origen. Una formulación simétrica ayuda a verlo: la probabilidad va de la población al dato y la estadística va del dato a la población, y las dos direcciones usan la misma maquinaria lógica.

El tercer nodo es donde el puente se vuelve visible. El contraste ocupa el paso final de la cadena: un número calculado sobre datos se enfrenta a la distribución que el modelo asigna a ese número. Si esa comparación no tiene sentido, el paso anterior tampoco lo tenía. Por eso conviene aprender las piezas en orden y no como glosario suelto.

2. El espacio muestral y el evento

El primer paso del razonamiento probabilístico es declarar qué se cuenta como resultado posible del experimento. Ese conjunto se llama espacio muestral y se escribe Omega. Un evento es un subconjunto de Omega: un recorte del catálogo de resultados posibles. La probabilidad es, en la formulación de conjunto, una función que asigna un número a cada evento y que respeta reglas de aditividad y normalización.

El detalle que más se examina aquí es de método, no de fórmula. Omega no se deduce: se declara. El mismo experimento admite más de un Omega razonable según qué se considere un resultado, y esa decisión altera los números que salen después. Dos monedas tiradas juntas pueden generar cuatro resultados ordenados o tres resultados simétricos, y el enunciado suele decidir el caso. El apunte de experimento aleatorio, espacio muestral y eventos desarrolla ese procedimiento de escritura con detalle; aquí basta con dejar constancia de que Omega es la primera decisión y que ninguna probabilidad tiene sentido sin ella.

3. Dos maneras de leer una misma probabilidad

Existe una discusión antigua y todavía viva sobre qué significa decir que un evento tiene probabilidad 0,3. Hay dos lecturas que se organizan bien y que conviene reconocer por nombre, porque cada una resuelve un problema distinto y ninguna alcanza por sí sola a responder todo.

Criterio	Lectura clásica	Lectura frecuente
Qué se supone	Los casos posibles son equiprobables	Las repeticiones convergen a una frecuencia límite
Qué información usa	La descripción del experimento	La serie de repeticiones del experimento
Ejemplo	Al lanzar dos dados, el 7 es un resultado entre 36	En 3600 lanzamientos, el 7 aparece cerca de 600 veces
Punto de presión	La equiprobabilidad no se da por sentida	La serie observada es finita y el límite no se observa
Autor de referencia	Laplace (1812)	von Mises (1928)

4. La probabilidad clásica y sus condiciones

La lectura clásica se apoya en la estructura del caso. Si los casos posibles son equiprobables, la probabilidad de un evento es la fracción de esos casos que forman parte del evento. La regla se enuncia en una línea y se aplica en cuatro pasos, que conviene tener ordenados porque el parcial suele pedir el procedimiento, no solo el número.

1. Declarar el espacio muestral. Escribir Omega con sus elementos, o describir con precisión cómo se construye. Sin este paso el resto de la cuenta queda flotando.
2. Verificar la equiprobabilidad. Mostrar por qué los casos del Omega tienen el mismo peso. Si esa justificación falla, la cuenta clásica pierde base.
3. Contar los casos favorables. Determinar cuántos elementos de Omega pertenecen al evento, con el criterio de conteo declarado.
4. Calcular y verificar. Dividir favorable entre posible y comprobar que las probabilidades de los eventos que particionan Omega sumen 1.

La referencia clásica de esta manera de razonar está en la obra de Laplace de 1812, Théorie analytique des probabilités, donde la teoría se apoya en reducir los eventos a un número finito de casos igualmente posibles. En psicología aplicada esa forma de razonar aparece cuando se asigna a un paciente la misma probabilidad que a los demás de su grupo, por ejemplo al ordenar turnos de intervención en una lista de espera organizada por un criterio estable.

El punto de presión aparece cuando la equiprobabilidad se supone sin fundamento. Bertrand lo mostró en 1889 en Calcul des probabilités: el problema de una cuerda trazada al azar dentro de un círculo admite tres respuestas numéricas distintas, 1/3, 1/2 y 1/4, según cómo se elija el procedimiento de selección (dos extremos en la circunferencia, un radio con un extremo, o un extremo como punto medio). Cada procedimiento define un espacio muestral distinto y aplica de manera correcta la regla de los casos equiprobables. El enunciado del problema no alcanzaba a decidir entre ellos. La paradoja sigue siendo el argumento más firme para exigir, en un ejercicio de probabilidad clásica, que se declare el procedimiento de selección y el criterio de equiprobabilidad.

La salida de la objeción consiste en acotar la lectura clásica. La equiprobabilidad es una hipótesis que se declara y se justifica; cuando no se sostiene, la cuenta clásica pierde base y corresponde apoyarse en la lectura frecuente o en un modelo que use la información disponible sobre la población.

5. La lectura frecuente: von Mises y los colectivos

La lectura frecuente tiene su formulación madura en Richard von Mises, cuyo Wahrscheinlichkeit, Statistik und Wahrheit (1928) define la probabilidad como el límite de la frecuencia relativa de un evento en una secuencia de repeticiones. Para que esa secuencia sirva, von Mises exige dos condiciones: que el límite exista y que se mantenga al seleccionar subseries mediante un procedimiento que no depende de los valores observados. A esas secuencias las llama colectivos, y la condición de invariancia es lo que separa una secuencia con regularidad genuina de una a la que se le puede camuflar un patrón. El mismo autor formuló el problema clásico de los cumpleaños (1939), que muestra cómo una lista de fechas se llena antes de lo que sugiere el cálculo ingenuo de 365 fechas equiprobables.

El punto fuerte de esta lectura es que conecta probabilidad y datos: la frecuencia observada en una serie larga se aproxima a la probabilidad, y la aproximación mejora con más repeticiones. Su límite es igual de claro. En el trabajo en psicología la secuencia de repeticiones del mismo experimento bajo condiciones idénticas casi no existe: cada participante se mide una vez, y el ejercicio cambia de forma según el contexto. Por eso la versión frecuente aparece en la práctica como una justificación de la idea de límite, mientras que la estimación se resuelve con las herramientas de la inferencia, que equipan un modelo con la información observada en una muestra.

6. El puente axiomático y la crítica que sigue abierta

El puente formal lo construyó Kolmogorov. En Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (1933), publicado en la serie Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, define el espacio muestral como una colección de elementos, los eventos como subconjuntos de esa colección y la probabilidad como un número no negativo asociado a cada evento. El capítulo I enuncia los axiomas I a V para campos finitos, entre ellos que la probabilidad del conjunto entero vale 1 y que la probabilidad de eventos disjuntos se suma; el axioma VI, de continuidad, se incorpora al abrir el capítulo II para tratar el caso de infinitos eventos. La traducción al inglés apareció en 1950 por Chelsea Publishing Company.

Lo decisivo del trabajo de Kolmogorov es lo que deja sin decidir. Las reglas de cálculo valen tanto para la lectura clásica como para la frecuente, y el propio Kolmogorov reconoce que la aplicabilidad de los resultados matemáticos a los fenómenos aleatorios reales necesita apoyarse en alguna forma de concepto de frecuencia, como escribió en el prefacio de la edición inglesa de 1950, apoyándose en el trabajo de von Mises. La crítica fue formulada de inmediato: J. E. Moyal publicó en 1949 Causality, Determinism and Probability en la revista Philosophy, donde sostiene que la axiomática kolmogoroviana resuelve el cálculo y deja el significado sin resolver. Esa tensión entre el aparato formal y la interpretación es estructural, no una dificultad de una época pasajera.

7. La variable aleatoria y su distribución

Hasta aquí la probabilidad se asignaba a eventos, es decir, a recortes de un catálogo. Para trabajar con datos hace falta un paso: convertir el resultado del experimento en un número. Eso es una variable aleatoria, una función que asigna un valor numérico a cada resultado del espacio muestral. Cuando el resultado ya es numérico de entrada (el número de aciertos de un paciente en una batería de 20 ítems), la función es la identidad y el trabajo se vuelve directo. Cuando el resultado es una categoría (el tipo de respuesta: negación, inversión, aceptación), el trabajo consiste en decidir qué número se le asigna a cada categoría, y esa decisión es la operacionalización de la variable.

Un desarrollo sobre variables aleatorias y sus distribuciones, con la binomial y la normal, ya existe en la casa: probabilidad básica aplicada a la psicología trabaja la lectura aplicada en psicología. Lo que añade este tema es la posición de la variable aleatoria dentro de la cadena: es el eslabón que convierte un evento en algo que se puede resumir con un número y, más adelante, contrastar.

8. La distribución y sus resúmenes

La distribución de una variable aleatoria es la lista de sus valores posibles junto con la probabilidad de cada valor o, en el caso continuo, la función que describe cómo se reparte la masa de probabilidad entre los valores. Al mirarla conviene separar dos cosas. Una es la forma: si la masa se concentra en el centro y se dispersa a los lados, si se acumula en un extremo, si tiene dos modos. La otra es el resumen: media, mediana, varianza y desviación típica, que son números derivados de la lista y que describen aspectos distintos de ella.

La consecuencia práctica es que una media no describe por sí sola una distribución. Dos variables con la misma media pueden tener dispersiones muy distintas, y en psicología esto tiene consecuencias directas: un grupo con puntuaciones agrupadas alrededor de 10 y otro con puntuaciones repartidas entre 0 y 20 tienen la misma media y se comportan de manera distinta ante una intervención. Esa es la razón por la que un informe que da solo el promedio se queda corto, y la razón por la que el trabajo de resumen de datos en la casa incluye las medidas de dispersión y la lectura de la forma de la distribución.

Elemento	Pregunta que responde	Ejemplo en un estudio de adherencia al tratamiento
Valor posible	Qué se puede medir	Número de días que el paciente asiste a sesión en un mes
Probabilidad de cada valor	Con qué frecuencia se espera cada resultado	Probabilidad de asistir 8, 9, 10 o 11 días
Media	Centro de la distribución	Número promedio de días de asistencia al mes
Desviación típica	Cuánto se dispersan los valores alrededor de la media	Si la asistencia es regular o irregular entre pacientes
Forma	Cómo se reparte la masa	Si la mayoría asiste a 8 o 9 días y unos pocos llegan a 12

9. Parámetro y estadístico: la bisagra de la inferencia

La distinción que organiza la inferencia separa un número calculado sobre la población de un número calculado sobre la muestra. El parámetro es una característica numérica de la población: la media de adherencia de los pacientes de un sistema de salud, la proporción de la población que presenta un síntoma. El estadístico es su contraparte calculada con los datos observados: la media de adherencia de los 40 pacientes incluidos en el estudio. El parámetro permanece fijo, sea cual sea el estudio; el estadístico cambia de valor de una muestra a otra.

Criterio	Parámetro	Estadístico
Se calcula sobre	La población completa	Una muestra
Variación entre estudios	No cambia: es una propiedad de la población	Cambia en cada muestra
Símbolo habitual	Letras del alfabeto griego, como la media poblacional mu	Letras latinas, como la media muestral x-barra
Ejemplo	Media de años de escolaridad de la población de un país	Media de años de escolaridad de 500 Encuestados
Función en el análisis	Es el objetivo de la estimación	Es la herramienta con la que se estima

10. Del modelo al contraste: el puente

Con estas piezas se ve por qué el contraste de hipótesis es una etapa posterior y no un procedimiento con vida propia. El razonamiento tiene la forma siguiente: se calcula un estadístico a partir de los datos; se supone, en el marco de la hipótesis nula, que la población tiene una distribución conocida; se obtiene la distribución de ese estadístico bajo esa suposición; y se mide cuánto se aleja el valor observado de lo que esa distribución predeciría. La distancia medida es el valor de probabilidad que, en el marco de la inferencia frecuente, se usa para decidir.

Esa cadena tiene historia documentada. Student, el seudónimo que usaba William Sealy Gosset en la revista Biometrika, publicó en 1908 The Probable Error of a Mean, donde desarrolla el procedimiento de contraste de una media cuando la varianza de la población se desconoce; de ese trabajo sale la distribución que hoy se llama t de Student. Fisher popularizó en 1925, en Statistical Methods for Research Workers, los tests de significación y propuso como umbral cómodo la probabilidad de uno entre veinte, es decir 0,05, aunque en sus escritos posteriores recomendó ajustar ese valor al contexto. Neyman y Pearson llamaron en 1933 a ese umbral nivel de significación y recomendaron fijarlo antes de reunir los datos, en su artículo sobre las pruebas más eficientes de hipótesis estadísticas publicado en las Philosophical Transactions of the Royal Society.

Lo que este apunte no hace es desarrollar los contrastes: esa labor ya está repartida en la casa, con un desarrollo propio para las pruebas de hipótesis sobre una y dos medias y otro para el análisis de varianza. Lo que sí hace este tema es dejar instalado el vocabulario que esos procedimientos dan por sabido: por qué se habla de una distribución de referencia, por qué el umbral se fija antes de mirar los datos, por qué un valor de probabilidad pequeño indica desacuerdo con la hipótesis nula y no la certeza de un efecto. Cada una de esas preguntas tiene respuesta en las piezas anteriores de la cadena.

Hay además continuidad con el material de la casa sobre el paso de la descripción a la inferencia: distribución muestral y teorema del límite central trabaja la distribución de los estadísticos de muestra, que es la que aparece como referencia en el cuarto paso de la cadena, y población, muestra y muestreo trabaja la lógica de la selección que hace que una muestra admita esa extensión.

11. Tres confusiones que se repiten en los parciales

La primera es de vocabulario mal marcado. Escribir una media muestral con el símbolo de una media poblacional, o llamar parámetro a un porcentaje calculado con 60 casos, produce una respuesta que el docente lee como una afirmación sobre la población que el trabajo no puede sostener.

La segunda es de equiprobabilidad implícita. Aplicar la cuenta clásica sin declarar Omega ni el criterio de equiprobabilidad funciona en ejemplos donde el ejemplo es evidente y falla en los que el enunciado deja una decisión abierta, como el problema de la cuerda de Bertrand. La respuesta que puntúa incluye la declaración.

La tercera es la más cara: tratar el valor de probabilidad como la probabilidad de que la hipótesis sea falsa. En el marco frecuente, el valor de probabilidad se calcula suponiendo cierta la hipótesis nula, y mide qué tan raro resulta observar un dato como el observado bajo esa suposición. Es un indicador de incompatibilidad entre datos y modelo, no una medida de la veracidad de una hipótesis. Confundir las dos cosas lleva a afirmar que un resultado con valor de probabilidad de 0,03 demuestra con 97 por ciento de certeza que el efecto es real.

12. Para el parcial

13. Preguntas de autoevaluación

¿Qué diferencia hay entre probabilidad y estadística? Dame un ejemplo de psicología donde las dos aparezcan.

La probabilidad describe el modelo de un experimento y se razona antes de tener datos: qué resultados son posibles y con qué probabilidad. La estadística trabaja con datos recolectados, los resume en estadísticos y estima qué se puede afirmar sobre la población. Un ejemplo: al diseñar un programa de adherencia, la probabilidad describe el modelo de la sesión experimental y la frecuencia con que cabe esperar cada respuesta; la estadística resume las adherencias observadas en el grupo intervenido y estima la adherencia de la población atendida. En el examen conviene nombrar las dos preguntas: qué cabe esperar, y qué se puede afirmar con estos datos.

La paradoja de Bertrand: cuéntala y di qué enseña del principio de indiferencia.

En 1889, en Calcul des probabilités, Bertrand planteó el problema de una cuerda trazada al azar dentro de un círculo: si el triángulo equilátero está inscrito, qué probabilidad hay de que la cuerda sea más larga que el lado del triángulo. Hay tres procedimientos razonables de selección y dan 1/3, 1/2 y 1/4. La lección es que el principio de indiferencia, que asigna la misma probabilidad a casos que parecen equivalentes, necesita un espacio muestral y un criterio de equiprobabilidad declarados. Sin esa declaración la cuenta clásica puede dar varias respuestas y ninguna es un error de cálculo: cada una corresponde a un modelo de selección distinto. En un parcial esto se responde declarando Omega y el procedimiento.

¿Qué problema resuelve la lectura frecuente de von Mises y qué instalación hizo?

Resuelve el problema de la conexión con los datos: la probabilidad deja de ser un reparto abstracto y pasa a ser el límite de la frecuencia relativa en una serie de repeticiones del experimento. La instalación de von Mises son los colectivos: secuencias de repeticiones en las que el límite de las frecuencias relativas existe y se mantiene al seleccionar subseries por un procedimiento que no depende de los valores observados. Esa condición de invariancia separa una secuencia con regularidad genuina de una a la que se le puede camuflar un patrón. En un ejercicio hay que decir que von Mises define la probabilidad como límite y que exige las dos condiciones sobre la secuencia.

¿Qué afirma Kolmogorov en 1933 y qué deja sin decidir?

Afirma que la probabilidad puede construirse sobre una base axiomática: un espacio muestral, los eventos como subconjuntos de ese espacio, un número no negativo asociado a cada evento, la probabilidad del espacio entero igual a 1 y la aditividad para eventos disjuntos, con un axioma de continuidad para el tratamiento de infinitos eventos en el capítulo II. Deja sin decidir el significado de la probabilidad: las reglas valen tanto bajo la lectura clásica como bajo la frecuente, y el propio Kolmogorov reconoce en el prefacio de la edición inglesa de 1950 que la aplicación del cálculo a los fenómenos reales requiere alguna forma de concepto de frecuencia. Moyal formuló en 1949 la crítica más famosa de esa apertura.

Un paciente mejora en 7 de 10 sesiones. ¿Es un parámetro o un estadístico? ¿Y si la cifra viene del promedio de 200 pacientes?

La proporción de 7 sobre 10 pacientes es un estadístico: se calculó con los datos de una muestra de 10 personas y cambiaría si se observara otra muestra. El promedio de 200 pacientes sigue siendo un estadístico, porque 200 casos son también una muestra de una población más amplia. Para que un número sea un parámetro tendría que describir la población completa, cosa que en la práctica rara vez se observa. Lo que se puede afirmar es que el estadístico estima un parámetro y que esa estimación tiene un margen de error que depende del tamaño de la muestra y de la dispersión de los datos. Si el enunciado pide la interpretación, la respuesta correcta dice “en la muestra estudiada la proporción fue de 0,7” y explica a qué población se pretende extender.

¿Por qué el nivel de significación se fija antes de reunir los datos?

El nivel es la regla de decisión que define a partir de qué tamaño de evidencia se rechaza la hipótesis nula. Fijarlo antes evita que el umbral se ajuste a los datos respetando el resultado, que es el sesgo que Neyman y Pearson señalaban al proponer el nombre nivel de significación en 1933. El argumento es de procedimiento: una decisión que se toma después de ver los datos convierte el análisis en una búsqueda de resultados favorables. Fisher, en 1925, ya usaba 0,05 como umbral cómodo, aunque en escritos posteriores recomendó ajustarlo a las circunstancias; lo que la casa repite en los apuntes de pruebas de hipótesis es la misma idea: la regla se declara antes de mirar el resultado.

14. Fuentes

Bertrand, J. (1889). Calcul des probabilités. Gauthier-Villars, Paris.

Cramér, H. (1946). Mathematical methods of statistics. Princeton University Press.

Fisher, R. A. (1925). Statistical methods for research workers. Oliver and Boyd, Edinburgh.

Kolmogorov, A. N. (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 2. Springer. DOI 10.1007/978-3-642-49888-6.

Kolmogorov, A. N. (1950). Foundations of the theory of probability (N. Morrison, ed. y trad.). Chelsea Publishing Company.

Laplace, P. S. (1812). Théorie analytique des probabilités. Courrier, Paris.

Moyal, J. E. (1949). Causality, determinism and probability. Philosophy, 24(91), 310-317. DOI 10.1017/s0031819100007464.

Neyman, J. y Pearson, E. S. (1933). On the problem of the most efficient tests of statistical hypotheses. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, 231(694-706), 289-337. DOI 10.1098/rsta.1933.0009.

Schield, M. y Burnham, T. V. V. (2008). Von Mises’ frequentist approach to probability. Section on Statistical Education, JSM 2008.

Student. (1908). The probable error of a mean. Biometrika, 6(1), 1. DOI 10.1093/biomet/6.1.1.

von Mises, R. (1928). Wahrscheinlichkeit, Statistik und Wahrheit. Springer, Wien.