Experimento aleatorio, espacio muestral y eventos

En el aula de inferencial, «experimento» no nombra un diseño de Campbell. Nombra un procedimiento que se puede repetir, con resultado desconocido antes de ejecutarlo, y con un catálogo de resultados posibles que el estudiante escribe. Lanzar un dado, extraer una carta, asignar al azar a un participante a una de dos condiciones: tres procedimientos distintos, la misma estructura. Kolmogorov (1933) parte de ese catálogo. El diseño experimental vive en diseños experimentales y cuasi-experimentales. Aquí no se reescribe.

Tres condiciones operan juntas. Primera: se puede repetir en condiciones comparables. Segunda: el resultado de esta corrida no está fijado. Tercera: el estudiante es capaz de listar (o describir) los resultados posibles. Si falta la tercera, no hay Omega y el cálculo se cae. Si falta la segunda, el procedimiento es determinista y no entra a este cuaderno. Un cronómetro que marca las 08:00 cada mañana no es experimento aleatorio. Un dado sí lo es, aunque el dado esté sesgado: el sesgo cambia las probabilidades, no el estatus del procedimiento.

En psicología el procedimiento suele ser más verbal. «Un participante responde sí o no a un ítem» es experimento aleatorio con Omega de dos puntos. «Un participante escribe un relato» no da un Omega listable; ahí el analista recorta categorías y el Omega se vuelve el conjunto de categorías, no el conjunto de relatos. Esa decisión es parte del oficio. El parcial pregunta si sabes dónde recortaste.

El laboratorio de métodos científicos (variables, hipótesis, control) ya está publicado. Este cuaderno no lo duplica. El puente es uno: la aleatoriedad del resultado no equivale a la aleatorización de un diseño. Puedes tener experimento aleatorio sin haber asignado participantes. Puedes asignar participantes y aún así necesitar un Omega para el ítem de probabilidad. Distintos oficios, misma palabra «experimento». El oral que los fusiona pierde el punto.

Omega se escribe de tres maneras. Por enumeración: Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6} para el dado. Por descripción: Omega = {x | x es un entero entre 0 y 40} para el puntaje de un cuestionario. Por producto: Omega = {cara, cruz} x {cara, cruz} para dos monedas. El error de aula es mezclar granos. Si lanzas dos dados, Omega no tiene 6 puntos: tiene 36 pares. Si extraes dos cartas sin devolver, el orden importa o no según el enunciado. Esa decisión se resuelve en el cuaderno de técnicas de conteo, hermano de esta misión. Aquí dejas constancia de que Omega cambia cuando cambia la regla de extracción.

Omega finito versus Omega infinito. El dado es finito. El tiempo de reacción, en milisegundos, se trata con frecuencia como continuo: Omega es un intervalo. El parcial de inferencial introductoria pide el caso finito. Si el enunciado habla de densidad, ya te mudaste a variables continuas, que también tienen casa en el cuaderno de inferencial. No las reescribas aquí. Anota el umbral: si puedes contar los puntos, enumeras; si no, describes un intervalo y te detienes.

Caso de aula. Una escala Likert de 5 anclajes, un ítem. Omega = {1, 2, 3, 4, 5}. Diez ítems sumados: Omega = {10, 11, ..., 50}. El estudiante que escribe Omega = {Likert} no listó resultados. El que escribe Omega = {bajo, medio, alto} recortó categorías: eso es un evento-partición, no el Omega del ítem. El recorte se declara. Kolmogorov no perdona el silencio.

1. Lee el procedimiento hasta el final: ¿hay reposición? ¿el orden cuenta? ¿cuántas corridas?
2. Nombra la unidad del resultado (cara, par ordenado, puntaje, categoría).
3. Escribe Omega por enumeración, descripción o producto.
4. Cuenta |Omega| si es finito y comprueba con un conteo (hermano de permutaciones).
5. Recorta eventos como subconjuntos, no como «cosas que pasan» en prosa suelta.

Producto cartesiano. Dos ítems dicotómicos independientes en el diseño (sí/no cada uno) dan Omega de 4 puntos: (sí, sí), (sí, no), (no, sí), (no, no). Tres ítems, 8 puntos. El patrón 2^n aparece en el parcial con otra ropa: «tres monedas», «tres ensayos de acierto-error». La ropa cambia, el producto no. Si los ítems no son independientes en el fenómeno, Omega igual se escribe como producto: la dependencia vive en la medida de probabilidad, no en el conjunto. Esa distinción salva el oral. Omega es el escenario. P es la puesta en escena.

Un evento A es un subconjunto de Omega. «Salir par» en el dado: A = {2, 4, 6}. «Puntaje mayor que 30» en la escala de 10 a 50: A = {31, 32, ..., 50}. El evento que coincide con Omega es el conjunto entero. El evento imposible es el conjunto vacío. Esas dos etiquetas se usan en el aula; no las confundas con una promesa clínica. Aquí nombra el conjunto entero.

Eventos elementales: subconjuntos de un solo punto. En el dado, {3} es elemental. En dos monedas, {(cara, cara)} es elemental. El hermano de axiomas trabaja la aditividad sobre elementales. Este cuaderno se queda en la geometría: A cabe en Omega, A se puede unir con B, A se puede complementar.

Partición. Una familia de eventos que no se solapan y cuya unión es Omega parte el escenario. En Likert de 5, {{1,2}, {3}, {4,5}} es una partición grosera (bajo, medio, alto). Sirve para recodificar. No es el Omega original. El parcial que pide |Omega| del ítem quiere 5, no 3. El que pide la recodificación quiere que declares la partición. Distintos enunciados, misma pizarra.

Eventos en lenguaje clínico, recortados. «El participante mejora» no es un evento hasta que mejoras se traduce a un subconjunto de Omega (por ejemplo, cambio de al menos 5 puntos en una escala cuya Omega ya escribiste). El método científico pide operacionalizar; este cuaderno pide el conjunto. Las dos demandas se tocan. La operacionalización vive en alcances, hipótesis y operacionalización. Aquí solo exiges que el recorte sea un subconjunto, no una metáfora.

Unión A union B: ocurre A, o B, o ambos. Intersección A interseccion B: ocurren los dos. Complemento A complemento: ocurre lo que no está en A. Diferencia A menos B: ocurre A y no B. El diagrama de Venn se dibuja; el parcial pide la lista. En el dado, A = {2,4,6}, B = {5,6}: A union B = {2,4,5,6}, A interseccion B = {6}, A complemento = {1,3,5}, A menos B = {2,4}.

De Morgan, en una línea de aula: (A union B)^c = A complemento interseccion B^c. El complemento de la unión es la intersección de complementos. (A interseccion B)^c = A complemento union B^c. Sirve cuando el enunciado está en negativo («no sale par ni cinco»). Traduce a conjuntos, aplica De Morgan, lista. El estudiante que se queda en la prosa del enunciado inventa un Omega paralelo.

Tabla de traducción. El enunciado en castellano entra por la izquierda; el conjunto sale por la derecha. «Al menos un acierto en tres ensayos» es unión de los ensayos con acierto, o complemento de «cero aciertos». «A lo sumo un acierto» es {0 aciertos} union {1 acierto}. «Exactamente dos» es un solo punto del Omega de conteos, no del Omega de secuencias. Otra vez: declara la unidad.

Independencia no se define en este cuaderno. Independencia es una propiedad de la medida P, no del conjunto. Dos eventos pueden cruzarse en Omega y ser independientes, o no cruzarse y ser dependientes de otras maneras. El oral que dice «si se cruzan, dependen» mezcla geometría con medida. Anótalo y pasa. El teorema de Bayes tiene casa propia.

Caso. Un inventario de 4 ítems sí/no. Omega de secuencias: 16 puntos (2^4). Evento A: «al menos tres sí». A tiene 5 puntos: las 4 secuencias con exactamente tres sí más la de cuatro sí. Evento B: «el primer ítem es sí». |B| = 8. A interseccion B se lista: de los 5 de A, ¿cuántos empiezan en sí? El estudiante que responde 5 sin listar está adivinando. El que lista gana el punto aunque tarde dos minutos.

Segundo caso. Tiempo de espera en minutos, recortado a {0, 1, 2, ..., 60} porque el protocolo corta a una hora. Omega finito por decisión de medición, no porque el tiempo sea discreto en la naturaleza. El recorte se declara. Si el protocolo no corta, el Omega cambia y este cuaderno se detiene: variables continuas, otro archivo.

Kolmogorov, A. N. (1933/1956). Foundations of the theory of probability. Chelsea. Libro clásico, APA sin doi.org. La edición alemana de 1933 es el ancla; la traducción se cita cuando es la que tu cátedra usa. No se inventa un DOI de reprint. Feller (1968) se usa en algunas cátedras como manual: también libro, también sin doi.org en este cuaderno.

Puente con conteo. |Omega| de un producto o de una extracción se calcula con permutaciones y combinaciones. Ese oficio es el segundo tema de la misión. Aquí dejas el gancho: si no puedes contar Omega, no puedes contar el evento. El dado de 6 caras no necesita fórmula. El mazo de 52 cartas con tres extracciones sí.

Cuatro preguntas. Las abres después de intentar la respuesta en voz alta.