Pruebas de hipótesis para una y dos medias

Tesis del tema: La prueba de hipótesis es un procedimiento sistemático que compara una hipótesis nula (H0) con una alternativa (H1) usando un estadístico calculado sobre la muestra. Se mide qué tan extrema sería el resultado si la hipótesis nula fuera cierta. Si ese resultado es suficientemente raro (por debajo de un umbral llamado nivel de significación, típicamente 0,05 o 0,01), se rechaza H0. Si no, no se rechaza. La decisión no es definitiva: hay dos tipos de error posibles.

En una frase: se asume que no pasa nada, y se calcula qué tan raro sería ver lo observado.

1. Las dos hipótesis: nula y alternativa

La prueba de hipótesis arranca plantando dos escenarios mutuamente excluyentes sobre el parámetro poblacional. La lógica del procedimiento es falsacionista: se asume que H0 es cierta y se calcula qué tan raro sería el resultado observado bajo ese supuesto.

Hipótesis nula (H0): la afirmación que se quiere poner a prueba, y que se presume cierta hasta que la evidencia indique lo contrario. Suele afirmar "no hay diferencia" o "no hay efecto". Por ejemplo: la media poblacional es igual a 50.
Hipótesis alternativa (H1): la afirmación que sostiene que hay diferencia o efecto. Por ejemplo: la media poblacional es distinta de 50 (dos colas), o es mayor que 50 (una cola).

Definición clave: La H0 es el supuesto base que se presume cierto mientras no haya evidencia en contra. La H1 es lo que el investigador sospecha que podría ser cierto. La prueba evalúa la evidencia contra H0, no a favor directo de H1.

1.1. Prueba de una cola versus dos colas

La elección de una o dos colas depende del tipo de H1:

Tipo de prueba	H1	Qué evalúa
Dos colas (bilateral)	la media es distinta de X	Desviación en dirección ascendente o descendente (mayor o menor).
Una cola derecha (unilateral)	la media es mayor que X	Solo desviación hacia arriba.
Una cola izquierda (unilateral)	la media es menor que X	Solo desviación hacia abajo.

Trampa de parcial: confundir la dirección. Una H1 que dice "distinto de" requiere dos colas, no una. La prueba de una cola solo aplica cuando la H1 direccional fue planteada antes de ver los datos, no a posteriori para hacer caer significativo un resultado que no lo era.

2. Los dos tipos de error

Como la decisión se toma con una muestra y no con la población entera, hay dos maneras de equivocarse. Entender la asimetría entre ambos errores es central para el resto del tema.

	H0 es verdadera en la realidad	H0 es falsa en la realidad
Rechazo H0	Error Tipo I (falso positivo). Probabilidad = alfa.	Decisión correcta (potencia estadística = 1 menos beta).
No rechazo H0	Decisión correcta.	Error Tipo II (falso negativo). Probabilidad = beta.

Error Tipo I (alfa): rechazar H0 cuando es verdadera. Es el "falso positivo". El investigador fija su probabilidad, alfa, por convención en 0,05 o 0,01.
Error Tipo II (beta): no rechazar H0 cuando es falsa. Es el "falso negativo". No se controla de manera directa con un umbral; depende del tamano de muestra, del efecto real y de alfa.

Definición clave: El nivel de significación es la probabilidad de cometer un Error Tipo I que el investigador está dispuesto a tolerar. Se denota con alfa y los valores más usados son 0,05 y 0,01. Es un umbral que se fija antes de mirar los datos.

2.1. Potencia estadística

La potencia estadística es la probabilidad de rechazar H0 cuando en realidad es falsa. Se define como (1 menos beta). Es la capacidad de la prueba para detectar un efecto que sí existe.

La potencia aumenta con el tamano de muestra: más datos, más capacidad de detectar efectos reales.
La potencia aumenta con la magnitud del efecto: efectos grandes son más fáciles de detectar.
La potencia aumenta si se sube alfa, pero eso también sube la probabilidad de Error Tipo I.
Por convención, una potencia aceptable suele ser 0,80 o mayor.

3. El valor p

El valor p es la probabilidad de obtener un resultado tan extremo o más que el observado, asumiendo que H0 es verdadera. Es la medida de rareza del resultado bajo H0.

Si valor p es menor o igual que alfa: se rechaza H0.

Si valor p es mayor que alfa: no se rechaza H0.

Trampa de parcial: el valor p NO es la probabilidad de que H0 sea verdadera. Tampoco es la probabilidad de que el resultado sea producto del azar. Es la probabilidad del resultado dado que H0 ya es verdadera, no al revés. Y "no rechazar H0" no es lo mismo que "demostrar H0": la ausencia de evidencia contra H0 no es prueba a su favor.

4. Los cinco pasos de la prueba de hipótesis

El procedimiento es el mismo, sin importar la prueba. Memorizarlo como secuencia fija ayuda mucho en el parcial.

Paso	Qué se hace	Ejemplo
1. Plantear hipótesis	Formular H0 y H1.	H0: media = 50. H1: media distinta de 50.
2. Elegir alfa	Fijar el nivel de significación antes de mirar los datos.	alfa = 0,05.
3. Calcular el estadístico	Calcular el estadístico de prueba sobre la muestra.	Calcular t de la muestra.
4. Comparar	Comparar el estadístico con el valor crítico o el valor p con alfa.	Comparar el t calculado con el t crítico de tabla.
5. Decidir	Rechazar o no rechazar H0 y concluir en el contexto.	Si t calculado supera al crítico, rechazar H0.

5. La prueba t de Student para una media

Cuando se desconoce la desviación estándar poblacional —que es lo usual— se usa la prueba t de Student en lugar de la distribución Z. La t se calcula dividiendo la diferencia entre la media muestral y la media poblacional hipotética, por el error estándar estimado (s dividido entre raíz de n). Esa t se compara con un valor crítico de la tabla t, que depende de los grados de libertad (n menos 1) y del nivel de significación elegido.

Estadístico t = (media muestral menos media hipotética) dividido entre (s / raíz de n)

Grados de libertad = n menos 1 para una sola muestra.

William Sealy Gosset publicó esta distribución en 1908 bajo el seudónimo "Student", mientras trabajaba en la cervecería Guinness. Necesitaba un procedimiento estadístico confiable con muestras pequeñas, y la Z no servía para esos casos porque se desconocía la varianza poblacional.

1908 Gosset ("Student") publica la distribución t para estimar medias con muestras pequeñas y varianza desconocida.

1925 Fisher formaliza el procedimiento de prueba de hipótesis y el valor p en Statistical Methods for Research Workers.

1933 Neyman y Pearson formalizan H0 y H1, los errores Tipo I y Tipo II, y la potencia estadística.

6. La prueba t para diferencia de medias (muestras independientes)

Para comparar dos grupos independientes —por ejemplo, ansiedad en un grupo con tratamiento versus un grupo control— se usa la prueba t para muestras independientes.

Se calcula la diferencia de las dos medias muestrales.
Se calcula un error estándar combinado que toma en cuenta las dos varianzas y los dos tamamos de muestra.
El estadístico t es la diferencia de medias dividida entre ese error estándar combinado.
Los grados de libertad son (n1 + n2 menos 2) cuando se asumen varianzas iguales.
El t calculado se compara con el crítico de la tabla t, con esos grados de libertad y alfa elegido.

Grados de libertad (dos muestras independientes) = n1 + n2 menos 2.

Si no se asumen varianzas iguales, se usa una corrección de grados de libertad (aproximación de Welch).

7. Tabla t: valores críticos para alfa 0,05 y 0,01

Para usar la tabla t, se buscan los grados de libertad en la fila y el nivel de significación en la columna. Estos son valores críticos de referencia para una prueba de dos colas.

Grados de libertad	alfa 0,05 (dos colas)	alfa 0,01 (dos colas)
10	2,228	3,169
20	2,086	2,845
30	2,042	2,750
60	2,000	2,660
120	1,980	2,617
infinito	1,960	2,576

Truco de memoria: a medida que los grados de libertad crecen, la t se acerca a los valores de la normal estándar (1,96 y 2,576). La t es como una normal "inflada" que se va desinflando al aumentar el tamano de muestra.
t: varianza desconocidagl = n menos 1t converge a z

8. Ejemplo completo paso a paso

Supongamos que un investigador quiere saber si un programa de entrenamiento en manejo del estres cambia el nivel de ansiedad de los participantes. Se sabe que la media poblacional histórica de ansiedad en una escala comparable es 50. Se mide una muestra de 16 participantes después del programa: media muestral = 44, desviación estándar muestral = 10. Se usa alfa = 0,05.

Plantear hipótesis: H0: media = 50. H1: media distinta de 50 (prueba de dos colas).
Elegir alfa: alfa = 0,05.
Calcular el estadístico: error estándar = 10 / raíz(16) = 2,5. t = (44 menos 50) / 2,5 = menos 2,4. Grados de libertad = 16 menos 1 = 15.
Comparar con el crítico: en la tabla t, para gl = 15 y alfa 0,05 (dos colas), el valor crítico es 2,131. El t calculado (menos 2,4) cae más allá de ese umbral.
Decidir: el valor absoluto del t calculado (2,4) supera al crítico (2,131). Se rechaza H0. Hay evidencia de que la media de ansiedad después del programa difiere de 50.

Interpretación del ejemplo: como el t calculado supera el valor crítico, rechazamos H0. Concluimos que, al nivel de 0,05, hay evidencia de que la media de ansiedad en los participantes del programa difiere de la media histórica de 50.

9. Errores frecuentes en el parcial

1. Confundir "no rechazar H0" con "aceptar H0". No rechazar H0 solo significa que no hay suficiente evidencia para rechazarla. No prueba que H0 sea verdadera. La estadística clásica no "acepta" hipótesis: rechaza o no rechaza.

2. Decir que el valor p es la probabilidad de que H0 sea verdadera. Es incorrecto. El valor p es la probabilidad de los datos dado que H0 es verdadera, no al revés. Confundir esto es el error más común en parciales de inferencia.

3. Olvidar que los grados de libertad dependen del tipo de prueba. Para una sola muestra son (n menos 1). Para dos muestras independientes son (n1 + n2 menos 2). Confundirlos da el valor crítico equivocado.

4. Usar z en lugar de t cuando no se conoce la desviación poblacional. Si sigma poblacional se desconoce —lo habitual en investigación real— se usa la t de Student, no la z. La z se reserva para cuando se conoce sigma o cuando n es grande y se usa una aproximación.

10. Para el parcial

Lo que con probabilidad te van a preguntar:

Definición de H0 y H1 y diferencia entre prueba de una cola y dos colas.
Definición de Error Tipo I y Tipo II y sus probabilidades (alfa y beta).
Qué es el nivel de significación y qué es el valor p.
Los cinco pasos de la prueba de hipótesis en orden.
Cuándo se usa t y cuándo z, y cómo se calculan los grados de libertad.
Qué es la potencia estadística y de qué depende.
Interpretación correcta de un resultado (rechazo versus no rechazo).

Repaso en 30 segundos:

H0: "no hay diferencia". H1: "sí la hay". Se prueba contra H0.
Error Tipo I = rechazar H0 cierta (alfa). Error Tipo II = no rechazar H0 falsa (beta).
Nivel de significación = alfa, fijado antes (0,05 o 0,01).
Valor p: probabilidad del resultado si H0 es verdadera.
5 pasos: plantear, elegir alfa, calcular, comparar, decidir.
t para una media: gl = n menos 1. t para dos medias: gl = n1 + n2 menos 2.
Potencia = 1 menos beta; depende de n, del tamaño del efecto y de alfa.

11. Preguntas de autoevaluación

1. ¿Qué es el Error Tipo I y qué relación tiene con alfa?

Es rechazar H0 cuando en realidad es verdadera (falso positivo). Su probabilidad es alfa, el nivel de significación fijado por el investigador (típicamente 0,05 o 0,01).

2. ¿Qué es el valor p y cómo se interpreta?

Es la probabilidad de obtener un resultado tan extremo o más que el observado, asumiendo que H0 es verdadera. Si el valor p es menor o igual que alfa, se rechaza H0. No es la probabilidad de que H0 sea verdadera.

3. ¿Cuándo se usa la prueba t en lugar de la z?

Cuando se desconoce la desviación estándar poblacional, que es lo habitual. La t de Student sustituye a la z y sus valores críticos dependen de los grados de libertad.

4. ¿Cuáles son los cinco pasos de la prueba de hipótesis?

1) Plantear H0 y H1. 2) Elegir alfa. 3) Calcular el estadístico de prueba. 4) Comparar con el valor crítico o con el valor p. 5) Decidir (rechazar o no rechazar H0) y concluir en el contexto.

5. En el ejemplo (n = 16, media = 44, s = 10, H0: media = 50), ¿por qué se rechaza H0 con alfa 0,05?

t calculado = (44 menos 50) / 2,5 = menos 2,4. El valor crítico para gl = 15 y alfa 0,05 (dos colas) es 2,131. Como el valor absoluto del t calculado (2,4) supera el crítico, se rechaza H0.

6. ¿Qué es la potencia estadística y de qué depende?

Es la probabilidad de rechazar H0 cuando es falsa (1 menos beta). Depende del tamano de muestra, de la magnitud del efecto real y del nivel de significación alfa. Una potencia adecuada suele ser 0,80 o mayor.

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