En una frase: tres axiomas, un espacio muestral y la regla de Laplace.
1. Experimento aleatorio vs. experimento determinista
Antes de hablar de probabilidad, hay que distinguir dos tipos de experimentos. Un experimento, en estadística, es un proceso que produce un resultado observable.
| Aspecto | Experimento determinista | Experimento aleatorio |
|---|---|---|
| Definición | Condiciones iniciales conocidas producen un resultado cierto | No se puede predecir el resultado con certeza antes de realizarlo |
| Ejemplo | Calentar agua a 100 grados Celsius al nivel del mar: hierve | Lanzar un dado de seis caras: no se sabe qué cara saldrá |
| Otros ejemplos | Dejar caer una piedra: cae por gravedad | Sacar una carta de un mazo barajado |
| Relación con la probabilidad | No aplica: el resultado es cierto | Es el terreno de la probabilidad |
La estadística inferencial trabaja con experimentos aleatorios. La palabra clave es incertidumbre: aunque no se pueda predecir un resultado individual, el comportamiento agregado de muchos ensayos sí sigue patrones regulares que la probabilidad describe.
2. Espacio muestral
El espacio muestral es el conjunto completo de resultados posibles de un experimento aleatorio. Se suele representar con la letra S (de "sample space") o con la letra griega omega, aunque aquí lo escribiremos de forma consistente como S para mantener la notación en letras latinas.
- Lanzar una moneda: S = {cara, cruz}. Dos resultados posibles.
- Lanzar un dado de seis caras: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Seis resultados posibles.
- Lanzar dos monedas a la vez: S = {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara), (cruz, cruz)}. Cuatro resultados posibles.
- Sacar una carta de un mazo de 52: S tiene 52 resultados posibles.
- Encuestar a una persona sobre su nivel de ansiedad (bajo, medio, alto): S = {bajo, medio, alto}. Tres resultados posibles.
3. Eventos: simples y compuestos
Un evento es un subconjunto del espacio muestral. En palabras sencillas: es un resultado o un grupo de resultados que nos interesa observar. Hay dos tipos básicos.
3.1. Evento simple
Un evento simple es un subconjunto con un único resultado. Por ejemplo, al lanzar un dado: "obtener un 3". Es un solo elemento del espacio muestral.
3.2. Evento compuesto
Un evento compuesto agrupa dos o más resultados. Por ejemplo, al lanzar un dado: "obtener un número par". Este evento agrupa los resultados {2, 4, 6}: tres elementos del espacio muestral.
| Tipo de evento | Definición | Ejemplo (dado de 6 caras) |
|---|---|---|
| Simple | Un solo resultado | "Sale 4" — un elemento de S |
| Compuesto | Dos o más resultados | "Sale un número menor que 3" — agrupa {1, 2} |
| Compuesto | Dos o más resultados | "Sale un número primo" — agrupa {2, 3, 5} |
| Cierto | Todo el espacio muestral | "Sale un número entre 1 y 6" — es S completo |
| Imposible | Conjunto vacío | "Sale un 7" — no pertenece a S |
4. Los tres axiomas de Kolmogorov
Andrey Kolmogorov publicó en 1933 su obra "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung" (Fundamentos de la teoría de la probabilidad), donde estableció tres axiomas que dan base rigurosa a la teoría matemática de la probabilidad. Estos tres axiomas son la base de toda la estadística inferencial moderna.
De estos tres axiomas se deducen las demás reglas de probabilidad que se ven en el curso. No hay axiomas adicionales: hay consecuencias de estos tres.
| Axioma | En palabras | Ejemplo numérico |
|---|---|---|
| 1. No negatividad | Toda probabilidad está entre 0 y 1 | La probabilidad de sacar un 3 en un dado es 0.167, que está entre 0 y 1 |
| 2. Normalización | La suma de las probabilidades de cada resultado da 1 | 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 |
| 3. Aditividad (excluyentes) | Si A y B no pueden ocurrir a la vez, su unión suma probabilidades | Probabilidad de sacar 2 o 5 = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 0.333 |
5. Regla de Laplace
La regla de Laplace (Pierre-Simon Laplace, 1812) es la fórmula clásica para calcular la probabilidad de un evento cuando los resultados del espacio muestral son igualmente posibles. Se escribe en texto así:
Condiciones para aplicar la regla de Laplace:
- El espacio muestral debe ser finito (un número contable de resultados).
- Los resultados deben ser equiprobables (igualmente posibles).
- El experimento debe ser aleatorio.
Ejemplos:
- Sacar un 3 al lanzar un dado: 1 caso favorable, 6 casos posibles. Probabilidad = 1/6 = 0.167.
- Sacar un número par: casos favorables {2, 4, 6}, es decir 3 casos; casos posibles 6. Probabilidad = 3/6 = 0.500.
- Sacar una cara al lanzar una moneda: 1 caso favorable, 2 casos posibles. Probabilidad = 1/2 = 0.500.
- Sacar un as de un mazo de 52 cartas: 4 casos favorables, 52 casos posibles. Probabilidad = 4/52 = 0.077.
6. Operaciones con eventos
Los eventos se combinan mediante tres operaciones que se heredan de la teoría de conjuntos.
6.1. Unión (A o B)
La unión de dos eventos A y B es el evento que ocurre si ocurre A, o si ocurre B, o si ocurren ambos. Se escribe como "A unión B" en texto plano. En la fórmula de la probabilidad de la unión se resta la intersección para no contarla dos veces.
Si A y B son mutuamente excluyentes, la intersección es cero y la fórmula se reduce a la suma (que es justamente el axioma 3 de Kolmogorov).
6.2. Intersección (A y B)
La intersección de dos eventos es el evento que ocurre únicamente cuando ocurren ambos a la vez. Se escribe como "A intersección B" en texto plano. Si los eventos son independientes, la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades.
6.3. Complemento (no A)
El complemento de un evento A es el evento que ocurre cuando A no ocurre. Se escribe como "no A" o "complemento de A". Su probabilidad se calcula como 1 menos la probabilidad de A.
| Operación | Pregunta que responde | Fórmula en texto | Ejemplo (dado) |
|---|---|---|---|
| Unión | ¿Probabilidad de A o de B? | P(A) + P(B) - P(A y B) | "Sale par o mayor que 4": P(par) + P(mayor que 4) - P(par y mayor que 4) |
| Intersección | ¿Probabilidad de A y de B? | P(A) por P(B) si son independientes | "Sale par y primo": solo el 2 cumple, probabilidad 1/6 |
| Complemento | ¿Probabilidad de que no ocurra A? | 1 - P(A) | "No sale un 6": 1 - 1/6 = 5/6 = 0.833 |
7. Distintas concepciones de probabilidad
Existen tres enfoques clásicos para definir qué es la probabilidad. Cada uno tiene un contexto de aplicación y supuestos distintos.
7.1. Probabilidad clásica (Laplace)
Es la regla de Laplace ya vista: casos favorables entre casos posibles. Supone que los resultados son igualmente posibles. Es la que se aplica a dados, monedas, cartas y ruletas.
7.2. Probabilidad frecuencial (von Mises)
Richard von Mises propuso en 1928 que la probabilidad de un evento es el valor al que se acerca la frecuencia relativa del evento cuando el número de repeticiones del experimento tiende a infinito. Es decir, si lanzas una moneda 10 veces, pueden salir 7 caras; pero si la lanzas 10000 veces, la proporción de caras se acerca a 0.5.
| Número de lanzamientos | Número de caras observado | Frecuencia relativa |
|---|---|---|
| 10 | 7 | 0.70 |
| 100 | 54 | 0.54 |
| 1000 | 512 | 0.512 |
| 10000 | 5031 | 0.5031 |
La probabilidad frecuencial es la base de la estadística empírica: no se parte de un modelo teórico, sino de la observación repetida del fenómeno. Se usa cuando los resultados no son equiprobables (por ejemplo, la probabilidad de que un estudiante apruebe un examen).
7.3. Probabilidad subjetiva (Bayes)
El enfoque bayesiano, basado en el teorema de Thomas Bayes (publicado póstumamente en 1763), sostiene que la probabilidad refleja el grado de creencia razonable que una persona tiene sobre la ocurrencia de un evento, basado en la evidencia disponible. Se actualiza cuando aparece nueva información.
| Enfoque | Autor de referencia | Definición de probabilidad | Cuándo se aplica |
|---|---|---|---|
| Clásico | Laplace (1812) | Casos favorables sobre casos posibles | Dados, monedas, cartas (equiprobables) |
| Frecuencial | von Mises (1928) | Límite de la frecuencia relativa al repetir el experimento | Datos empíricos, resultados no equiprobables |
| Subjetivo | Bayes (1763) | Grado de creencia razonable basado en evidencia | Decisión clínica, pronóstico, inferencia con priors |
8. Eventos independientes vs. dependientes
Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad del otro. El ejemplo clásico: lanzar una moneda dos veces. Que haya salido cara en el primer lanzamiento no cambia la probabilidad de cara en el segundo. Sigue siendo 0.5.
Dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia de uno sí modifica la probabilidad del otro. El ejemplo clásico: sacar cartas de un mazo sin reemplazo. Si la primera carta es un as, la probabilidad de que la segunda también lo sea baja de 4/52 a 3/51, porque ya no está en el mazo el primer as.
| Aspecto | Eventos independientes | Eventos dependientes |
|---|---|---|
| Definición | La ocurrencia de uno no afecta la probabilidad del otro | La ocurrencia de uno modifica la probabilidad del otro |
| Ejemplo | Lanzar una moneda dos veces seguidas | Sacar dos cartas seguidas sin devolver la primera |
| Probabilidad de la intersección | P(A) por P(B) — se multiplican | P(A) por P(B dado A) — se usa probabilidad condicional |
| En psicología | Respuestas de dos personas distintas en una encuesta | Las puntuaciones de dos gemelos en una prueba cognitiva |
9. Eventos mutuamente excluyentes vs. no excluyentes
Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando no pueden ocurrir a la vez. Su intersección es el conjunto vacío. Por ejemplo, al lanzar un dado, "sale 3" y "sale 5" son mutuamente excluyentes: un solo lanzamiento no puede dar ambos resultados.
Dos eventos son no excluyentes cuando sí pueden ocurrir a la vez. Su intersección no es vacía. Por ejemplo, "sale un número par" y "sale un número mayor que 4" no son excluyentes, porque el 6 cumple ambas condiciones.
| Tipo de eventos | Pueden ocurrir a la vez | Intersección | Fórmula de la unión |
|---|---|---|---|
| Mutuamente excluyentes | No | Vacía (probabilidad cero) | P(A o B) = P(A) + P(B) |
| No excluyentes | Sí | No vacía | P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B) |
10. Línea de tiempo
11. Errores frecuentes en el parcial
12. Para el parcial
- Los tres axiomas de Kolmogorov, enunciados con sus nombres (no negatividad, normalización, aditividad).
- Definir experimento aleatorio, espacio muestral, evento simple y evento compuesto con ejemplos.
- Aplicar la regla de Laplace a un problema concreto (dados, monedas, cartas).
- Diferenciar los tres enfoques de probabilidad (clásico, frecuencial, subjetivo) y nombrar a sus autores.
- Distinguir eventos independientes de dependientes, y mutuamente excluyentes de no excluyentes.
- Calcular la probabilidad de una unión, restando la intersección cuando corresponde.
- Axioma 1: rango. La probabilidad está entre 0 y 1.
- Axioma 2: total. La suma de todo da 1.
- Axioma 3: suma. Eventos excluyentes: la unión suma.
- Experimento aleatorio: resultado incierto, pero enumerable.
- Espacio muestral S: el conjunto completo de resultados posibles.
- Evento simple: un resultado. Evento compuesto: varios.
- Kolmogorov: probabilidad entre 0 y 1, la suma total da 1, los excluyentes se suman.
- Laplace: casos favorables sobre casos posibles (solo si equiprobables).
- von Mises: frecuencia relativa al repetir. Bayes: creencia razonable actualizable.
- Excluyentes no es igual a independientes.
13. Preguntas de autoevaluación
1. Enuncia los tres axiomas de Kolmogorov con tus palabras.
1) La probabilidad de un evento está entre 0 y 1. 2) La probabilidad del espacio muestral completo es 1 (la suma de cada resultado da 1). 3) Si dos o más eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades individuales.
2. Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número par o un número mayor que 4?
Eventos: par = {2, 4, 6} con probabilidad 3/6. Mayor que 4 = {5, 6} con probabilidad 2/6. La intersección (par y mayor que 4) es {6} con probabilidad 1/6. Aplicamos: P(par o mayor que 4) = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6 = 0.667. Hay que restar la intersección porque el 6 está en ambos eventos.
3. ¿Por qué no se puede aplicar la regla de Laplace a "la probabilidad de que un estudiante apruebe el examen"?
Porque los resultados (aprobar, reprobar) no son equiprobables. La regla de Laplace requiere que los resultados del espacio muestral tengan la misma probabilidad. Para este caso se usa la probabilidad frecuencial, basada en datos observados de exámenes anteriores.
4. ¿Son los eventos mutuamente excluyentes lo mismo que los eventos independientes?
No. Dos eventos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir a la vez, por lo que la ocurrencia de uno impide la del otro: son dependientes. Los eventos independientes son aquellos en los que la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad del otro.
5. Explica la diferencia entre probabilidad frecuencial y probabilidad subjetiva con un ejemplo.
La frecuencial (von Mises) define la probabilidad como el límite de la frecuencia relativa al repetir el experimento muchas veces: por ejemplo, si un 30 por ciento de 1000 estudiantes aprobó en el pasado, se estima 0.30. La subjetiva (Bayes) define la probabilidad como el grado de creencia razonable basado en evidencia: un clínico puede estimar 70 por ciento de probabilidad de un diagnóstico antes de tener datos duros, y ajustar esa cifra cuando llega nueva información.
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