En una frase: la media muestral tiene su propia campana.
1. Población versus muestra: dos mundos
Población
Conjunto completo de sujetos de interés. Su resumen numérico es un parametro (media, desviación) y rara vez se conoce.Muestra
Subconjunto que extraemos. Su resumen es un estadistico (media muestral, desviación muestral): es lo que calculamos.Inferencia
Usar el estadistico para estimar el parametro desconocido, con margen de error y nivel de confianza.2. La idea en un esquema
Imagina una población de la que sacamos muchas muestras del mismo tamano. De cada muestra calculamos su media. Esas medias se grafican y forman una nueva distribución: la distribución muestral.
Paso 1 · Población
Forma variable (sesgada, uniforme, bimodal). Media mu, desviación sigma.Paso 2 · Muestras
Extraemos muchas muestras de tamano n. Cada una tiene su media x-barra.Paso 3 · Distribución muestral
Graficamos las medias. Tiende a la forma normal conforme n crece.2.1. Error estándar: la desviación de la campana de medias
Cada distribución tiene una dispersión. La de la distribución muestral de la media se llama error estándar de la media:
Error estándar = sigma dividido entre raíz de n
Es decir: cuanto mayor el tamano de muestra, MENOR el error estándar, más estrecha la campana.
n pequeño
Campana ancha, error estándar grande, las medias muestrales se dispersan bastante.n grande
Campana estrecha, error estándar chico, las medias muestrales se agrupan cerca del verdadero valor.3. Teorema del límite central
El TLC dice: conforme el tamano de muestra aumenta, la distribución muestral de la media se aproxima a una distribución normal, sin importar la forma de la población original. La media de esa distribución muestral coincide con la media poblacional, y su desviación es el error estándar.
Población muy asimétrica
Forma torcida. No es normal.n = 5
La campana de medias ya empieza a suavizarse.n = 30 o más
La campana se ve prácticamente normal: regla práctica n mayor o igual a 30.3.1. Población normal versus no normal
El TLC se aplica de dos maneras según la forma de la población de partida:
- Si la población ya es normal: la distribución muestral de la media es normal para todo valor de n, incluso con n pequeño. No se necesita esperar al TLC para justificar la forma.
- Si la población no es normal: la distribución muestral de la media se aproxima a la normal conforme n crece. Es ahí donde aplica la regla práctica de n mayor o igual a 30. Para distribuciones muy sesgadas o con colas pesadas, conviene un n mayor para que la aproximación sea razonable.
3.2. Por qué importa para la inferencia
- El TLC permite usar la tabla de la normal aunque la población no sea normal.
- Es la base de los intervalos de confianza: la media muestral cae cerca del parametro con probabilidad alta.
- Es la base de las pruebas de hipótesis: sabemos qué tan lejos cae una media de lo esperado.
- Sin TLC, casi toda la inferencia clásica se caería.
4. Ejemplo: puntuaciones de CI
Supongamos una población con CI medio de 100 y desviación estándar de 15. Extraemos muestras de tamano 25 y calculamos la media de cada una.
| Pregunta | Cálculo | Resultado |
|---|---|---|
| Media de la distribución muestral | Igual a la media poblacional | 100 |
| Error estándar | sigma / raíz(n) = 15 / 5 | 3 |
| Forma de la distribución muestral | n = 25 cercano a 30 | Aproximadamente normal |
Como el error estándar es 3 (y no 15), las medias muestrales se agrupan muy cerca de 100. Si una muestra sale con media 106, no es tan raro: queda a dos errores estándar del centro.
parametro: fijoestadistico: variableerror estándar: sigma / raíz(n)TLC: n mayor o igual a 30
5. Tabla resumen: población versus distribución muestral
| Aspecto | Población | Distribución muestral de la media |
|---|---|---|
| Qué describe | Los individuos | Las medias de las muestras |
| Media | mu (parametro) | Igual a mu |
| Dispersión | sigma (desviación poblacional) | sigma / raíz(n) (error estándar) |
| Forma | Variable | Tiende a normal si n crece (TLC) |
| Se conoce | Rara vez | Se deduce por inferencia |
6. Errores frecuentes en el parcial
7. Para el parcial
- Diferencia entre parametro y estadistico.
- Definición de distribución muestral de la media.
- Fórmula del error estándar y qué pasa cuando n crece.
- Enunciado del teorema del límite central y la regla práctica de n.
- Aplicación del TLC al ejemplo del CI (cálculo del error estándar).
- Parametro = fijo (población); estadistico = variable (muestra).
- Distribución muestral = conjunto de medias muestrales posibles.
- Error estándar = sigma / raíz(n); más n, menos error.
- TLC: la campana de medias tiende a normal aunque la población no lo sea.
- Regla práctica: n mayor o igual a 30.
8. Preguntas de autoevaluación
1. ¿Qué es la distribución muestral de la media?
Es el conjunto de las medias muestrales posibles, para un tamano de muestra fijo, extraídas de la misma población.
2. ¿Cómo se calcula el error estándar de la media?
Es la desviación estándar poblacional (sigma) dividida entre la raíz cuadrada del tamano de muestra (n). A mayor n, menor el error estándar.
3. ¿Qué dice el teorema del límite central?
Que la distribución muestral de la media tiende a la forma normal a medida que el tamano de muestra aumenta, sin importar la forma de la población de origen.
4. ¿Por qué se habla de una regla práctica de n mayor o igual a 30?
Porque para muchos casos reales, con n de 30 o más la distribución muestral se aproxima bastante a la normal, lo que permite usar la tabla Z. En poblaciones muy asimétricas puede requerirse un n mayor.
5. En el ejemplo del CI (media 100, sigma 15, n = 25), ¿cuánto vale el error estándar?
sigma / raíz(n) = 15 / 5 = 3. Las medias muestrales se agrupan con dispersión 3 alrededor de 100.
Estudia esta materia jugando en la Escuela PsiqueAcadémica — la sesión 1 es gratis. O comprueba lo que sabes en la Arena de preguntas.
🎮 12 experiencias — ¿prefieres practicarlo jugando? Psique Juegos — aprende jugando →
Ponlo en práctica
Test de conocimiento: Procesos Psicológicos
Pon a prueba lo que sabes de este tema: 12 preguntas reales, tu nivel al final y los temas exactos a reforzar.