Tesis. La probabilidad se resuelve contando, no estimando a ojo: primero se cuentan los casos posibles, después se cuenta cuántos cumplen la condición y, en el paso decisivo, se usa la probabilidad condicional para preguntar qué ocurre dentro de un grupo que ya quedó seleccionado. El error clásico aparece cuando se salta ese conteo y se responde con la regla del producto o con una impresión sobre lo frecuente.
En una frase: contar los casos del grupo que ya sabes, y usar la tasa base para que la pista no cargue con el cálculo entero.
1. Antes de la primera fórmula: el grupo de casos
Toda probabilidad arranca de una pregunta previa al cálculo: ¿de qué universo estamos hablando? En el nivel más básico, un experimento tiene un conjunto de resultados posibles, y ese conjunto se llama espacio muestral. Un evento es una parte de ese conjunto que te interese: por ejemplo, “sale cara” cuando tiras una moneda, o “el paciente con resultado positivo” cuando aplicas un instrumento de tamizaje en una consulta. La probabilidad de un evento se calcula como la cantidad de casos favorables dividida por la cantidad de casos posibles, y esa cuenta tiene sentido cuando los casos del espacio muestral pesan lo mismo.
Esa última condición merece atención, porque se olvida con facilidad. Si en una bolsa hay cuatro bolas rojas y una azul, la probabilidad de sacar roja vale 4 de 5, porque cada bola tiene el mismo peso. Si en la bolsa hay cuatro bolas rojas y una azul que pesa el doble, la cuenta 4 de 5 falla: los casos posibles no son equiprobables y el cálculo correcto tiene que pesar el color, no solo la cantidad. En psicología esto aparece todo el tiempo, porque una muestra de 50 pacientes que llegan a consulta tiene otra probabilidad por caso que una muestra de 50 personas de la población general, y las dos cifras no se pueden mezclar.
Definición clave: la probabilidad de un evento es la proporción de casos favorables sobre la cantidad de casos posibles, y esa proporción describe una frecuencia, no un misterio. Sirve para comparar, para decidir y para anticipar. En el parcial, conviene presentarla como una frecuencia esperada y no como un número mágico.
Hay dos valores que conviene reconocer de inmediato, porque aparecen en casi cada ejercicio. Cuando el evento incluye cada uno de los casos posibles, su probabilidad vale 1. Cuando no incluye ninguno, vale 0. Entre esos dos extremos hay una zona que se mueve según cuanta evidencia se acumule. Esa zona es la que se organiza con las herramientas que siguen.
2. Las dos reglas de conteo: sumar y multiplicar
Contar casos se hace con dos reglas y con una tercera que funciona como atajo. La primera regla sirve cuando los casos se excluyen entre sí: si el resultado cae en A o bien cae en B, y solo en uno de los dos a la vez, la probabilidad del conjunto es la suma de las dos. La analogía útil es un pasillo con dos puertas: entras por una o por la otra, y para saber la probabilidad de pasar por el pasillo sumas la de cada puerta.
La segunda regla sirve cuando los casos se encadenan: si primero ocurre una cosa y después otra, la probabilidad de la secuencia se obtiene multiplicando la probabilidad de la primera por la probabilidad de la segunda dada la primera. Cuando ambas piezas son independientes, ese segundo factor es igual a la probabilidad de la segunda sin más, y la cuenta se simplifica. La analogía aquí es el guardarropa de la mañana: eliges una camisa y luego un pantalón, y el número de atuendos posibles sale de multiplicar las opciones. Si hay 6 camisas y 4 pantalones, hay 24 combinaciones.
Analogía. Piensa en una salida del centro comercial. Hay una puerta lateral y una puerta central, y entras por una sola: eso suma. En el mismo edificio hay un ascensor y una escalera mecánica, y para llegar al quinto piso usas el ascensor y luego la escalera mecánica: eso multiplica. La diferencia está en si las dos cosas pueden ocurrir a la vez o si solo una de ellas puede ocurrir.
Tarjeta de memoria. Repite esta frase como si fuera un eslogan de sala de clase: “Si se excluyen, suman; si se encadenan, multiplican.” Y el matiz que salva el examen: al multiplicar, el segundo factor es la probabilidad dada la primera, y solo se simplifica cuando las dos son independientes. Y añade el remate: “Si el camino largo te asusta, camina por el complemento y resta.” El atajo del complemento significa que, cuando te piden la probabilidad de que algo no ocurra, calculas la de que sí ocurra y la restas de 1. Quien escucha ese remate entiende la lógica del conteo, no una fórmula suelta.
La tercera herramienta es el complemento, y aparece con frecuencia disfrazada. Si te piden la probabilidad de que una persona no presente un cuadro clínico y ya sabes que la probabilidad de presentarlo es 0.20, entonces la de no presentarlo es 0.80. En un examen, presentar el complemento como un paso explícito te ahorra un paso de resta y demuestra que sabes de dónde sale el número.
Trampa de parcial: sumar dos eventos que se solapan. Si el grupo “consume alcohol” y el grupo “consume cannabis” comparten personas, sumarlos cuenta dos veces a quienes están en los dos, y el resultado puede pasarse de 1, lo que delata el error de inmediato. Para eventos que se cruzan, el camino correcto pasa por la regla del producto, que se explica en la sección siguiente.
3. Contar combinaciones: cuando el orden importa o no importa
Las reglas de conteo se vuelven muy útiles cuando la pregunta es “de cuántas maneras”. En psicología aparecen al planear un examen, al distribuir casos entre evaluadores o al elegir ítems para una entrevista. En ese terreno hay dos familias de conteo y la diferencia entre ellas se decide con una sola pregunta: ¿el orden en que aparecen las cosas cambia el resultado?
Cuando el orden importa, estás frente a permutaciones. En un podio el orden tiene sentido: oro, plata y bronce son puestos distintos, e intercambiar dos de ellos cambia el resultado. En un reparto de casos entre tres entrevistadores también importa, porque que una persona evalúe el primer caso y otra el segundo produce un plan distinto del inverso. Cuando el orden da igual, estás frente a combinaciones: un comité de tres personas elegidas de una lista de doce no cambia porque las ordenes de otra manera.
| Situación | Tipo de conteo | Razón de la elección | Fórmula |
|---|---|---|---|
| Puestos de un podio | Permutación | Intercambiar dos puestos cambia el resultado | Factorial |
| Reparto de casos entre entrevistadores | Permutación | Cada caso queda con un entrevistador asignado | Factorial |
| Comité de tres integrantes | Combinación | El orden de los nombres da igual | Combinatoria |
| Banco de preguntas para un examen | Combinación | Importa qué preguntas, no su posición | Combinatoria |
Los números salen con una fórmula corta. El factorial es el producto de números enteros descendentes: las permutaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3 son 5 multiplicado por 4 multiplicado por 3, es decir 60. La combinatoria divide ese producto por el factorial de los elementos que sobran, porque en una combinación esos sobrantes se ordenan de mil maneras y por eso hay que corregir esa sobrecuenta: las combinaciones de 12 elementos tomados de 4 en 4 son 495.
- Pregunta primero por el orden. Si cambiar el orden altera el resultado, trabajas con permutaciones; si da igual, con combinaciones.
- Escribe el factorial del número de elementos disponibles, sin recortar y bájalo hasta el número de elementos que te piden.
- Si es combinación, divide por el factorial de lo que sobró, para quitar el efecto del orden.
- Verifica con un caso pequeño. Si te piden combinaciones de 3 elementos de 3, el resultado tiene que ser 1, porque el comité formado por los tres es uno solo.
- Declara en el examen qué contaste y con qué criterio, para que la respuesta se pueda revisar.
Tarjeta de memoria. La frase que separa las dos familias: “En el podio se nota el orden; en el comité da igual.” Si la frase no te dice nada, pregúntate por la consecuencia: si revolver dos elementos de la lista arruina el resultado, el orden pesa y hay permutación; si puedes revolver la lista y el resultado sigue siendo el mismo, hay combinación. Y dos palabras ancla: permutación y podio comparten la P; combinación y comité comparten la C.
4. Independencia: cuándo la regla del producto sí se puede usar
Multiplicar probabilidades solo tiene legitimidad cuando los dos eventos son independientes, y esa palabra tiene un significado técnico preciso. Dos eventos A y B son independientes cuando la probabilidad de A no cambia por saber que B ocurrió. La fórmula lo dice de manera directa: si A y B son independientes, la probabilidad de que ocurran juntos es el producto de sus probabilidades. Hay una forma equivalente que conviene memorizar porque conecta con la sección siguiente: si son independientes, la probabilidad de A dado B es igual a la probabilidad de A. Saber B no aporta nada sobre A.
La analogía clásica es la de dos dados justos. Arrojas uno y el resultado no altera las probabilidades del otro: el primer dado no sabe nada del segundo. En la investigación psicológica, en cambio, es fácil encontrar casos donde la independencia se rompe. Dos respuestas a dos ítems del mismo constructo pueden ir de la mano porque quien las contesta trae el mismo estado de ánimo del día. Una medición de estrés y una de sueño tomadas en la misma semana pueden caminar juntas por la altura del proceso que las genera. Y dos personas que comparten el mismo contexto familiar no aportan eventos independientes sobre ese contexto.
Analogía. Dos interruptores de luz en casas distintas: lo que hagas con uno no informa sobre el otro, porque no comparten circuito. Dos luces en el mismo pasillo de la misma casa: cuando una se enciende, la otra también responde, porque comparten el interruptor general. La independencia se pregunta por el circuito compartido, no por el objeto.
Tarjeta de memoria. La ancla de tres palabras: “INDEPENDIENTE ES NO TOCARSE.” Y la pregunta que lo resuelve en el examen: “Si yo ya sé que B ocurrió, cambia la probabilidad de A?” Si no cambia, hay independencia y el producto se puede usar. Si cambia, la independencia se rompe y el producto da un número que no describe nada.
Trampa de parcial: multiplicar porque la fórmula “se parece” a la de otro ejercicio. La regla del producto con independencia da el resultado correcto; la misma fórmula aplicada a eventos que se tocan produce un valor sin relación con el problema. Antes de multiplicar, hazte la pregunta de la tarjeta: si saber del segundo evento cambia las posibilidades del primero, el producto queda fuera de lugar.
5. Probabilidad condicional: la barra que acota
La probabilidad condicional es la herramienta central del tema y la que más se confunde. Se escribe P(A dado B) y se lee en voz alta como “A dado B”, es decir, la probabilidad de A una vez que ya sabes que B ocurrió. Esa lectura no es un adorno: dice que el cálculo se hace dentro del grupo de B, y en ninguna otra parte. La fórmula lo formaliza: P(A dado B) es la cantidad de casos que cumplen A y B al mismo tiempo, dividida por la cantidad de casos que cumplen B. El denominador es el grupo que ya sabías, y por eso el resultado se lee como una proporción dentro de ese grupo.
La analogía más fiel es la de un filtro. Imagina que de 100 pacientes que llegan a tu consulta, 30 presentan insomnio. Aplicas una entrevista sobre consumo de cafeína y descubres que 24 de esos 30 pacientes con insomnio también consumen cafeína a diario. La probabilidad de consumo de cafeína entre quienes tienen insomnio es 24 de 30, es decir 0.80, y eso significa: dentro del grupo que tiene insomnio, el 80 por ciento consume cafeína. La barra fue un filtro: primero dejaste pasar solo a quienes tienen insomnio y, dentro de ese filtrado, contaste la cafeína.
Ahora invierte la pregunta y mira por qué los números difieren. De los 100 pacientes del ejemplo, 40 consumen cafeína. Entonces la probabilidad de tener insomnio entre quienes consumen cafeína es 24 de 40, es decir 0.60. La primera pregunta dio 0.80 y la segunda dio 0.60, con los mismos 24 pacientes en el centro. Cambiar la barra cambia el denominador, y el denominador es el grupo donde se cuenta. Por eso P(A dado B) y P(B dado A) responden preguntas distintas y sus números no tienen por qué coincidir.
| Pregunta | Denominador | Resultado en el ejemplo |
|---|---|---|
| Probabilidad de cafeína entre quienes tienen insomnio | Los 30 con insomnio | 24 de 30, es decir 0.80 |
| Probabilidad de insomnio entre quienes consumen cafeína | Los 40 con cafeína | 24 de 40, es decir 0.60 |
| Probabilidad de insomnio entre quienes no consumen cafeína | Los 60 sin cafeína | 6 de 60, es decir 0.10 |
La conexión con la sección anterior aparece sola: si A y B son independientes, la probabilidad de A dado B es la misma que la de A, porque saber B no aporta nada. Hay además un uso práctico que se agradece en el trabajo clínico: la probabilidad condicional permite preguntar por subgrupos sin rehacer el conteo. Si conoces la probabilidad general de un cuadro en una población y la probabilidad dentro de un subgrupo, la regla del producto te deja reconstruir la del subgrupo restante sin volver a contar desde cero.
Tarjeta de memoria. La frase ancla: “LA BARRA ES EL DATO QUE YA TIENES.” Todo lo que está a la derecha de la barra es información que ya posees, y el cálculo ocurre dentro de ese grupo. El remate para blindar el resultado: “No le des vuelta a la barra.” Si alguien te pide la probabilidad inversa, cambias el denominador y cuentas de nuevo, no inviertes el número.
6. Bayes en el taller: la tabla de dos por dos
El teorema de Bayes se vuelve manejable cuando dejas de memorizar la fórmula y te pones a contar en una tabla de dos por dos. Esa tabla tiene cuatro celdas y el ejercicio consiste en llenarlas con números, en un orden fijo. La primera celda es la tasa base: la frecuencia con la que aparece la condición en la población donde vas a aplicar el instrumento. La segunda son los positivos verdaderos: la base multiplicada por la sensibilidad del instrumento, es decir, la parte de quienes tienen la condición y el instrumento detecta. La tercera son los falsos positivos: quienes no tienen la condición y aun así resultan positivos, y sale de multiplicar la parte de la población sin la condición por la tasa de falsos positivos del instrumento. La cuarta, los verdaderos negativos, se obtiene por diferencia o con la especificidad.
Sumando la fila de los positivos obtienes la cantidad de resultados positivos, y ahí está la respuesta: divides la celda de positivos verdaderos por esa fila. Este es el punto que más se pierde en los exámenes, porque se pide un resultado con una forma parecida a la probabilidad de que una persona tenga la condición, cuando en realidad es la probabilidad de que tenga la condición dado que el resultado fue positivo. Son preguntas distintas y por eso los números difieren.
Tarjeta de memoria. Dos anclas para el mismo ejercicio. La primera: “LA MÁQUINA B-S-E.” La máquina de Bayes recibe tres datos en este orden, Base, Sensibilidad y Especificidad, y devuelve la probabilidad posterior. La segunda: “CELDA POR CELDA.” El orden de llenado no cambia: primero la base, después la sensibilidad, después la especificidad y al final la división. Si te saltas un paso, el resultado sale inflado o desinflado sin que nada te avise.
Trabajemos un caso de psicología con cifras de ejercicio, para que se vea el mecanismo de punta a punta. Supongamos que en una consulta de salud mental en un campus se aplica un instrumento de tamizaje para detectar un trastorno depresivo. La tasa base del cuadro en la población atendida es del 10 por ciento, el instrumento detecta al 80 por ciento de quienes lo presentan y clasifica mal al 10 por ciento de quienes no lo presentan. Te preguntan: de las personas que salen con resultado positivo, cuántas tienen el cuadro de verdad.
Traza 1000 personas para que los porcentajes se vuelvan cuentas. De esas 1000, 100 tienen el cuadro, porque la base es del 10 por ciento. De las 100, el instrumento detecta 80: esa es la celda de positivos verdaderos. De las 900 que no tienen el cuadro, el instrumento se equivoca en 90: esa es la celda de falsos positivos. En conjunto salieron positivos 170 personas, y de ellas 80 tienen el cuadro. La respuesta es 80 de 170, es decir cerca de 47 por ciento. La otra mitad de los resultados positivos, 90 personas, no tiene el cuadro.
| Resultado del instrumento | Tienen el cuadro | No lo tienen | Suma de la fila |
|---|---|---|---|
| Positivo | 80 | 90 | 170 |
| Negativo | 20 | 810 | 830 |
| Suma de la columna | 100 | 900 | 1000 |
El resultado merece una frase de lectura, porque un porcentaje suelto en un informe se interpreta mal. La manera precisa de enunciarlo es esta: de cada 100 personas que resultan positivas, cerca de 47 tienen el cuadro y cerca de 53 no lo tienen. Conviene notar además que la fila de los positivos, 170 personas, es mucho mayor que las 100 personas que tenían el cuadro: el tamizaje agrega ruido, y ese ruido crece cuando la base es baja y el instrumento produce falsos positivos.
Ese detalle final explica por qué la base pesa tanto. Con la misma sensibilidad y la misma especificidad, si la tasa base fuera del 40 por ciento en lugar del 10, la cuenta cambiaría: de 1000 personas, 400 tendrían el cuadro y el instrumento detectaría 320; las 600 restantes aportarían 60 falsos positivos; y de los 380 positivos, 320 tendrían el cuadro, es decir cerca de 84 por ciento. La misma prueba, con la misma calidad técnica, dice cosas muy distintas según la población donde se aplica. Por eso la base no se puede dejar a un lado.
Un dato de contexto ayuda a dimensionar el asunto. Kessler y colaboradores (2005), con la réplica nacional de la encuesta de comorbilidad, estimaron que cerca de la mitad de las personas adultas de su país cumple criterios para algún trastorno a lo largo de la vida: la prevalencia vitalicia alcanza 28.8 por ciento para los trastornos de ansiedad, 20.8 por ciento para los trastornos del estado de ánimo y 46.4 por ciento cuando se cuenta algún trastorno de la clasificación, sin distinguir el diagnóstico. Esa magnitud indica que la base pesa: en una población donde el cuadro es frecuente, un instrumento sensible rinde mucho más que en una población donde el cuadro es raro, y la misma lógica se aplica al leer un estudio sobre tamizaje.
Hay una forma de presentar el mismo cálculo que rinde más en la práctica y que cuenta con respaldo experimental. En lugar de porcentajes, se escribe el número de personas en un caso concreto: de 100 personas, 10 tienen el cuadro y 8 de ellas dan positivo, mientras que de las 90 que no lo tienen, 9 dan positivo por error; de ese modo, 17 personas salen positivas y entre ellas 8 tienen el cuadro. Esa formulación en frecuencias naturales dio respuestas mucho más certeras que la forma con porcentajes en tareas de razonamiento bayesiano, tanto en el trabajo clásico de Gigerenzer y Hoffrage (1995) como en las replicaciones posteriores de Hoffrage, Krauss, Martignon y Gigerenzer (2015). En otras palabras: si el cálculo se te resiste, dibuja personas y cuenta personas.
Por último, una forma de expresar cuánto aporta el instrumento es comparar la frecuencia de resultados positivos entre quienes no tienen el cuadro con la frecuencia entre quienes sí lo tienen. Cuando esa comparación se acerca a 1, el instrumento aporta poca información; cuando se aleja, aporta más. La revisión de Gigerenzer y Gaissmaier (2011) sobre decisiones heurísticas en salud, justicia y administración describe cómo los atajos de juicio funcionan bien en ambientes con estructura clara y se lesionan cuando el ambiente es ambiguo, y uno de esos atajos consiste justamente en dejar la base a un lado.
7. Las trampas que más se repiten
Trampa 1. Darle vuelta a la barra. P(A dado B) y P(B dado A) no son el mismo número. La primera pregunta se hace dentro del grupo que tiene B; la segunda, dentro del grupo que tiene A. En el ejemplo de la cafeína, una dio 0.80 y la otra 0.60. Si en el parcial te piden una y escribes la otra, el ejercicio queda mal aunque manejes bien las cuentas intermedias.
Trampa 2. Confundir la calidad del instrumento con la respuesta final. Que un instrumento detecte al 80 por ciento de quienes tienen el cuadro es una afirmación sobre el instrumento. Preguntar cuántos de los que resultaron positivos tienen el cuadro es una afirmación sobre la población donde se aplicó, y esa respuesta depende de la base. Cuando el cuadro es raro, un instrumento con buenas propiedades técnicas produce una proporción baja de aciertos entre los positivos, y esa proporción sube cuando el cuadro es frecuente.
Trampa 3. Dejar la base a un lado por representatividad. Tversky y Kahneman (1974) describieron la heurística de representatividad: cuando la gente juzga la probabilidad responde a la pregunta “¿esto se parece a lo que suele pasar?” y deja fuera cuánto suele pasar. Esa pregunta tiene sentido cuando el detalle disponible describe el cuadro y pierde sentido cuando describe a la persona. Leer el caso con un dato concreto, sin saber cuántos casos parecidos hay en la población, es un salto sin base, y es uno de los errores más documentados de la psicología del juicio.
Hay una salida que funciona y se apoya en la reflexión breve antes de responder. Frederick (2005) construyó una prueba de tres ítems para medir la tendencia a detenerse y pensar en lugar de entregar la primera respuesta que llega a la mente, y halló que esa tendencia se relaciona con el desempeño en tareas de decisión bajo incertidumbre. En un examen de probabilidad, el equivalente es escribir primero los números de la tabla y recién después elegir la respuesta: el conteo abre la puerta a una base que la respuesta intuitiva deja de lado.
Trampa 4. Multiplicar en vez de sumar, o al revés. La frase que salva el punto es la de la tarjeta: si los casos se excluyen, suman; si se encadenan, multiplican. En el parcial, un ejemplo típico es la probabilidad de que una persona presente un cuadro y además un factor de riesgo: ahí corresponde la regla del producto, y hay que verificar si los dos criterios son independientes o si hace falta la probabilidad condicional. En cambio, la probabilidad de que una persona presente el cuadro o el factor de riesgo, con dos criterios que se cruzan, no se obtiene sumando a ciegas.
Trampa 5. Creer que dos cosas pueden ser más probables juntas que por separado. Esa es la falacia de la conjunción, descrita por Tversky y Kahneman (1983): una persona que es alta y tiene el pelo largo es menos probable que una persona que es alta, porque el grupo de las altas es más pequeño y solo una parte de él cumple las dos condiciones. La regla matemática es simple y conviene enunciarla: la probabilidad de A y B no puede ser mayor que la probabilidad de A sola, ni mayor que la de B sola. Si en un ejercicio tu resultado conjunto supera una de las partes, hay un error de conteo o de fórmula.
Trampa 6. Contar casos sin equiprobabilidad. El cociente de casos favorables sobre casos posibles es correcto cuando los casos pesan igual. En una muestra de pacientes de consulta, o en una muestra de personas que respondieron el llamado, la frecuencia por caso cambia según cómo se seleccionó la muestra, y el cálculo tiene que hacerse con esa diferencia a la vista.
8. Para el parcial
Para el parcial
Lo que con probabilidad te van a preguntar y con qué grado de detalle conviene responder:
- Espacio muestral, evento y equiprobabilidad: qué es cada uno y por qué la cuenta de casos favorables sobre posibles solo vale cuando los casos pesan igual.
- Las dos reglas de conteo: cuándo se suman y cuándo se multiplican, con un ejemplo propio de cada una y el atajo del complemento.
- Permutaciones y combinaciones: la pregunta del orden como criterio de separación, las dos fórmulas y un ejemplo de cada una.
- Independencia: definición formal, criterio de comprobación y por qué dos eventos de una misma persona pueden dejar de ser independientes.
- Probabilidad condicional: lectura de la barra como “dado”, el papel del denominador y la razón por la que invertir la barra cambia el resultado.
- Bayes aplicado a un caso de psicología: orden de llenado de la tabla de dos por dos, papel de la base y cálculo de la probabilidad posterior.
- Frecuencias naturales: por qué escribir el caso en número de personas rinde más que trabajar con porcentajes.
- Las tres trampas con nombre: inversión de la condicional, confusión entre calidad del instrumento y respuesta final, y falacia de la conjunción.
9. Cuatro preguntas para autoevaluarte
En una consulta atienden 200 pacientes y 60 reciben un resultado positivo en un instrumento de tamizaje. ¿Qué probabilidad es esa y cómo la calculaste?
Es la probabilidad de que una persona atendida en esa consulta reciba un resultado positivo, es decir 60 de 200, o 0.30, bajo el supuesto de que el grupo de los 200 pacientes de la consulta es el conjunto en estudio. Si la pregunta viene redactada como probabilidad condicional, se trata de la probabilidad de un resultado positivo dado que la persona asiste a esa consulta, y el denominador es el grupo de asistentes. Con esos datos no puedes pasar a la pregunta inversa, la probabilidad de que asista dado que salió positivo, porque el denominador sería el grupo de positivos y necesitarías saber cuántos positivos hay fuera de la consulta.
Explica con tus palabras la diferencia entre permutación y combinación, y da un ejemplo de cada una en un trabajo de psicología.
La permutación cuenta maneras de ordenar elementos cuando el orden cambia el resultado, y la combinación cuenta maneras de escoger elementos cuando el orden da igual. En un trabajo de psicología, asignar tres entrevistadores a cinco casos es permutación, porque cambiar quién evalúa qué caso altera el plan; elegir cuatro preguntas de un banco de doce es combinación, porque da igual en qué posición del examen aparezcan. El número de combinaciones se obtiene dividiendo el factorial por el factorial de los elementos que sobran, para corregir la sobrecuenta que introduce el orden.
¿Qué significa que dos eventos sean independientes, cómo lo compruebas y qué pasa con el denominador de una probabilidad condicional?
Dos eventos son independientes cuando la probabilidad de uno no cambia por saber que el otro ocurrió. Se comprueba verificando que la probabilidad de que ocurran juntos es igual al producto de sus probabilidades o, de forma equivalente, que la probabilidad de A dado B es igual a la probabilidad de A. En el caso de la probabilidad condicional, la independencia tiene una consecuencia práctica clara: el denominador, que es el grupo dado por B, no aporta información sobre A, así que puedes calcular con la frecuencia general sin condicionar.
En una población donde el cuadro aparece en el 10 por ciento, una prueba tiene 80 por ciento de sensibilidad y 90 por ciento de especificidad. Entre quienes salen positivos, ¿qué proporción tiene el cuadro?
Trae 1000 personas: 100 tienen el cuadro y de ellas 80 dan positivo; de las 900 que no lo tienen, 90 dan positivo por error. En conjunto hay 170 positivos, y de ellos 80 tienen el cuadro, de modo que la proporción es 80 de 170, cerca de 47 por ciento. La prueba es buena en su capacidad de detección y, a la vez, entrega una proporción de aciertos entre los positivos que se explica por la base baja del cuadro. Si la base fuera 40 por ciento, con la misma prueba la proporción entre los positivos subiría a cerca de 84 por ciento.