Inferencial - esquema
Técnicas de conteo
Cuando listar |Omega| a mano ya no alcanza, entran producto, permutaciones y combinaciones, con y sin reposición. El escenario (experimento, Omega, evento) se consulta al lado. El ojo sigue el árbol: orden sí o no, reposición sí o no. Feller 1968 se cita como libro, sin doi.org.
- Árbol: orden y reposición
- Principio del producto
- Permutaciones
- Combinaciones
- Trampa: nPr no equivale a nCr
Tesis de aula. Contar es decidir dos bits: ¿el orden importa? ¿hay reposición? Esos dos bits eligen la fórmula. Si el ítem pide escribir Omega de un dado, te mudas al hermano de experimento aleatorio. Si pide P(A) con axiomas, te mudas a axiomas. Aquí solo cuentas.
El mapa de dos bits
Cuatro celdas. Orden y reposición. El ojo las ve antes de la fórmula.
Definición clave. Principio del producto: si una secuencia tiene k pasos y el paso i admite n_i opciones, el producto es n_1 x n_2 x ... x n_k. Permutación: arreglo ordenado. Combinación: subconjunto, el orden no cuenta.
Celda 1: orden sí, reposición sí. Códigos de 4 dígitos, 10 opciones cada uno: 10^4. Ítems dicotómicos en secuencia: 2^k. Celda 2: orden sí, reposición no. Comités donde el asiento importa (presidente, secretario): P(n,k) = n! / (n-k)!. Celda 3: orden no, reposición no. Comités donde el asiento no importa: C(n,k) = n! / (k!(n-k)!). Celda 4: orden no, reposición sí. Multiconjuntos; el parcial introductorio rara vez la pide. Si aparece, se declara y se usa C(n+k-1, k).
El árbol se dibuja con k niveles. Cada nivel es un paso del procedimiento. Las ramas de un nudo son las opciones de ese paso. Contar hojas = |Omega|. Si un nudo tiene menos ramas porque ya salió una carta, hay dependencia de inventario, no de probabilidad todavía. La probabilidad llega después.
Principio del producto, dibujado
Tres ensayos de acierto-error. Árbol de tres niveles, dos ramas por nudo, 8 hojas. Se ve. Cuatro ensayos, 16 hojas: ya no se dibuja entero, se escribe 2^4. El salto del dibujo a la potencia es el oficio.
Analogía. Un menú: 3 entradas, 4 platos, 2 postres. El producto 3 x 4 x 2 = 24 no pregunta si te gusta el postre. Pregunta cuántas bandejas distintas salen. Omega es el conjunto de bandejas.
- Lee el procedimiento hasta el final: orden, reposición, k pasos.
- Marca los dos bits (orden sí/no, reposición sí/no).
- Elige celda: potencia, P(n,k), C(n,k) o producto que cae.
- Escribe la fórmula con n y k del enunciado, no de la muestra del estudio.
- Calcula y, si el ítem pide evento, cuenta también |A| con la misma celda.
Cuando un paso depende del anterior, el producto sigue, pero n_i cambia. Primera carta del mazo: 52. Segunda sin devolver: 51. Tercera: 50. Producto 52 x 51 x 50. Eso es P(52,3). El ojo ve el árbol que se estrecha. Con devolver, cada nivel vuelve a 52: 52^3.
Regla visual. Si las ramas de cada nivel son iguales y no se comen inventario, potencia. Si se comen inventario, factorial que cae. Si el orden de las hojas no importa, divide por k! al final.
Producto versus suma. El producto encadena pasos de un mismo procedimiento. La suma parte casos que no ocurren juntos (partición). «O dos monedas o un dado» no se multiplica. Se cuenta Omega del primer procedimiento, Omega del segundo, se suman si el enunciado los pone como alternativas excluyentes. El ojo que multiplica todo pierde el oral.
Caso de aula. Un protocolo de 3 ítems Likert de 5 anclajes. |Omega| = 5^3 = 125 secuencias. El puntaje suma no es Omega: el puntaje colapsa secuencias distintas en un mismo número. Si el ítem pide secuencias, 125. Si pide puntajes, Omega = {3, 4, ..., 15} y el conteo de cada puntaje ya es otra técnica (estrellas y barras, o enumeración). Declara la unidad, igual que en el hermano de Omega.
Permutaciones: el orden se ve
n objetos distintos, el conjunto en fila: n!. Cinco pacientes en una lista de espera: 5! = 120. k cargos tomados de n personas: P(n,k) = n! / (n-k)!. Presidente y tesorero de un grupo de 10: P(10,2) = 90. Ana-presidente y Luis-tesorero no es el mismo arreglo que al revés. El ojo lo ve: dos sillas distintas.
Permutaciones con repetición. Si hay objetos indistinguibles, se divide por el factorial de cada grupo. Palabra MAMA: 4! / (2!2!) = 6 distintas. En psicología aparece cuando hay ensayos indistinguibles salvo por el tipo de respuesta. El parcial lo disfraza de «secuencias con 2 aciertos y 2 errores»: C(4,2) coincide con esa cuenta. Dos caminos, un número. Elige el camino que el enunciado nombra.
Taquigrafía: fila = factorial. k sillas distintas = P(n,k). Letras repetidas = divide por los repetición. Sillas iguales = ya no permutas, combinas.
Circular. n personas en una mesa redonda: (n-1)!. El parcial introductorio de psicología rara vez lo pide. Si aparece, el truco es fijar a una persona y permutar al resto. No lo uses si el enunciado da una cabecera (entonces hay un origen y vuelve a n!).
Feller (1968), An introduction to probability theory and its applications, Vol. 1, Wiley. Libro, APA sin doi.org. Algunas cátedras usan Ross. Misma pauta: manual, no DOI inventado. Kolmogorov 1933 queda en el hermano de Omega.
Combinaciones: el orden se apaga
Elegir k de n sin importar el orden: C(n,k). El ojo: una bolsa, no una fila. Comité de 3 de 12 docentes: C(12,3) = 220. Si el comité tiene cargos, vuelves a P. El interruptor es el enunciado: «equipo» versus «presidente y vocales».
| Pregunta | Bits | Fórmula | Ejemplo de aula |
|---|---|---|---|
| Secuencias de ítems | Orden sí, rep. sí | n^k | 5^4 Likert de 4 ítems |
| Cargos distintos | Orden sí, rep. no | P(n,k) | P(10,2) presidente y tesorero |
| Equipo sin cargos | Orden no, rep. no | C(n,k) | C(12,3) comité |
| Cartas con orden | Orden sí, rep. no | P(52,k) | Tres cartas seguidas |
| Mano de poker | Orden no, rep. no | C(52,5) | La mano no se ordena |
| Ensayos acierto-error | Secuencia | 2^k | Tres ensayos: 8 |
| k aciertos en n | Elegir posiciones | C(n,k) | Binomial, hermano posterior |
| Muestra de tamaño n | No es este oficio | , | Puerta a muestreo |
Identidad útil: C(n,k) = C(n, n-k). Elegir 3 de 10 es elegir cuáles 7 quedan fuera. El ojo lo usa cuando k es grande. Pascal: C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k). Un elemento distinguido entra o no entra. El árbol de Pascal se dibuja; el oral pide la identidad, no el triángulo entero.
Trampa de parcial. Usar C cuando el enunciado da sillas distintas. «Dos roles» no es «dos personas en un equipo». P(n,2) = n(n-1). C(n,2) = n(n-1)/2. Difieren por un 2. El parcial pone el 2 como cebo.
Trampa de parcial. Confundir |Omega| con n de la muestra. n = 80 participantes no se cuenta con P ni C. Se diseña en muestreo. Aquí n es el tamaño del catálogo (cartas, ítems, personas del comité), no el n del estudio.
Para el parcial: marca los dos bits, elige celda, escribe la fórmula, calcula. Si el ítem pide el conjunto, vuelve a Omega. Si pide probabilidad uniforme, P(A) = |A|/|Omega| y |A| también se cuenta con estas celdas.
Puente binomial. La distribución binomial cuenta C(n,k) p^k (1-p)^{n-k}. El C(n,k) de esa fórmula es este cuaderno. El resto (ensayos de Bernoulli, p constante) vive en variables aleatorias discretas y binomial. No lo reescribas. Anota el gancho.
Tercer caso dibujado. Un inventario de 10 viñetas; el práctico pide 4, el orden de proyección importa, no se repiten. Bits: orden sí, reposición no. P(10,4) = 10 x 9 x 8 x 7 = 5040. Si el orden no importa, C(10,4) = 210. El protocolo del práctico decide. El ojo que calcula 210 cuando el enunciado dice «secuencia» pierde el bit, no la aritmética. Misma trampa que el caso de 8 viñetas; se deja escrito dos veces porque el parcial cambia el n y el estudiante reutiliza el número viejo.
Cuarto caso. Códigos de acceso de 6 caracteres, cada uno 26 letras, se pueden repetir. Celda potencia: 26^6. Si no se pueden repetir: P(26,6). Si el código distingue mayúsculas, n pasa a 52. El enunciado define n. El estudiante que usa 10 «porque son dígitos» inventó el alfabeto. En psicología el análogo es Likert: n = 5 anclajes, no 10, salvo que el ítem lo diga.
Conteo de eventos, no solo de Omega. Tres monedas, evento «al menos dos caras». Omega = 8 secuencias (2^3). El evento tiene 4 puntos: C(3,2) + C(3,3) = 3 + 1. Aquí se ve el gancho binomial: C(n,k) cuenta las secuencias con k caras. El hermano de variables discretas pone p^k. Este cuaderno pone el C. Si el ítem pide la lista, listas CCC, CCS, CSC, SCC y las de tres caras. Si pide el número, 4. Distintos enunciados.
Árbol que se estrecha, narrado. Primera extracción de un grupo de 12 participantes para una tarea de tres roles (quien presenta, quien registra, quien observa). 12 ramas, luego 11, luego 10. Hojas = P(12,3) = 1320. Si los tres roles se consideran un equipo sin sillas, divide por 3! y caes en C(12,3) = 220. El dibujo del árbol con sillas etiquetadas versus bolsas sin etiqueta es el truco visual de este estilo: el ojo ve sillas o ve bolsa.
n del catálogo. En este oficio n es cartas, ítems, personas del comité, anclajes Likert. No es n = 80 del estudio. Si el enunciado mezcla los dos, subraya el catálogo.
Divide al final. Cuando permutaste de más (trataste como ordenado lo que el enunciado trata como bolsa), divide por k!. Ese es el puente P hacia C. C(n,k) = P(n,k)/k!.
Feller 1968 desarrolla estas cuentas en los primeros capítulos del volumen 1. Ross, en las cátedras que lo usan, también. No se les inventa DOI. Kolmogorov queda en el hermano de Omega. El teorema binomial, en el hermano de variables discretas. Este archivo es el árbol y las cuatro celdas.
Quinto caso. Un práctico de 7 estaciones; cada estudiante pasa 3, el orden se sortea, no se repite estación. P(7,3) = 210 recorridos posibles. Si el sorteo se olvida y el docente arma «equipos de 3 estaciones» sin orden, C(7,3) = 35. El acta del práctico decide el bit. El estudiante que estudia con el número 35 y el enunciado dice recorrido pierde.
Conteo con restricciones. Dos personas no pueden coincidir en el mismo rol. Eso no cambia la celda: sigue P, pero un recuento por complemento o por casos. Ejemplo: 5 personas, 3 cargos, Ana no puede ser tesorera. Conteo sin restricción P(5,3)=60. Restas los arreglos donde Ana es tesorera (fijas tesorería en Ana, permutas los otros dos cargos con 4 personas: P(4,2)=12). 60-12=48. El ojo: cuenta el conjunto, resta el prohibido. No inventes una celda nueva.
Principio de inclusión-exclusión, una línea. |A union B| = |A| + |B| - |A interseccion B|. Es el hermano de operaciones de eventos, aplicado a conteo. Tres monedas, «al menos una cara»: 8 - 1 = 7 (resta la de tres cruces). Más rápido que listar. El árbol y el complemento se llevan bien.
Permutaciones de un subconjunto con repetición de tipos. Ensayos de un test de 10 ítems, 4 aciertos y 6 errores: C(10,4) posiciones para los aciertos. Equivale a 10! / (4!6!). El estudiante ve dos fórmulas y cree que son dos temas. Son la misma celda. El binomial las vuelve a pedir.
Error de calculadora. n! crece rápido. 12! ya desborda el oral a mano. El parcial de psicología introductoria se queda en n chico o en dejar expreso P(12,3)=12 x 11 x 10. No hace falta expandir 479001600. El oficio es la expresión, no el alarde aritmético.
Puente con Omega escrito. El hermano de experimento aleatorio pide llaves. Este pide el número cuando las llaves no caben. Un examen que pide ambas (escribe Omega y |Omega|) se responde en dos cuadernos. El que solo pone 36 en dos dados sin decir que son pares pierde la unidad. El que lista 36 pares a mano pierde tiempo. Producto 6 x 6 y la frase «pares ordenados» cierra.
Caso dibujado y autoevaluación
Caso. 8 viñetas, eliges 3 para un práctico, el orden de presentación importa porque el primero ancla. Bits: orden sí, reposición no. P(8,3) = 8 x 7 x 6 = 336. Si el orden de las viñetas no importa, C(8,3) = 56. El protocolo del práctico decide el bit. El estudiante que calcula 56 cuando el enunciado dice «secuencia de tres viñetas» pierde el punto por un bit, no por la aritmética.
Segundo caso. Un mazo de 52, mano de 5, poker. Orden no. C(52,5). El evento «color» (flush) recorta palo y luego combina 5 de 13. El recorte es del hermano de eventos; el conteo es de esta celda. El ojo parte: primero palo (4), después C(13,5), resta escalas si el enunciado las saca. No hace falta memorizar poker; hace falta no mezclar palo con orden.
Oficio. Lee hasta el final. Marca orden. Marca reposición. Recién entonces fórmula. Calcular primero y vestir la fórmula después es el camino del cebo.
Relación con Omega. |Omega| del dado = 6, no necesita este cuaderno. |Omega| de tres dados = 6^3 = 216: celda potencia. |Omega| de tres cartas sin devolver, ordenadas = P(52,3). El hermano de experimento aleatorio escribe las llaves; este cuaderno pone el número cuando las llaves no caben en la hoja.
1. «Elegimos 2 de 10, P(10,2) y C(10,2) son lo mismo.» ¿Qué falló?
Falló el bit del orden. P = 90, C = 45. Si hay cargos, P. Si hay equipo, C. El 2 de diferencia es el cebo.
2. El ítem pide escribir Omega de una moneda. ¿Te quedas?
No. Te mudas al hermano de experimento aleatorio. Aquí cuentas cuando listar no alcanza.
3. Tres ítems sí/no. ¿|Omega|?
2^3 = 8. Orden sí (secuencia), reposición sí en el sentido de que cada ítem vuelve a tener 2 opciones. Celda potencia.
4. ¿Feller se cita con DOI?
No. Libro 1968, APA sin doi.org. Igual que Kolmogorov en el hermano de Omega. Las reseñas se omiten.
Para salir del aula con los dos bits
Te llevas un árbol, cuatro celdas y dos fórmulas. Omega y los axiomas se consultan en sus casas. Aquí ganas el punto cuando el bit del orden está declarado, no cuando recitas factoriales.
Un recuento de aula que suele pedir el oral: tres cargos y dos turnos. Si el orden importa y no hay reposición, permutas P(3,2). Si el orden no importa, combinaciones C(3,2). Si cada cargo se puede repetir, producto 3 x 3. La misma escena, tres fórmulas. El error está en no marcar orden y reposición antes de escribir el símbolo.