En una frase: la binomial cuenta cuantos exitos salieron en N intentos.
1. Que es una variable aleatoria discreta
Te lo explico como yo lo entiendo: una variable aleatoria discreta es, basicamente, una variable que solo puede tomar valores que puedes contar con los dedos. Cero, uno, dos, tres, cuatro... No hay decimales intermedios. No puede valer 2.7. Es o no es.
Ejemplos clásicos en psicologia: cuantos pacientes de un grupo de 15 responden a un tratamiento, cuantas veces una persona revisa el telefono en una hora, cuantos items de un test acierta un estudiante. En los tres casos contamos cosas enteras.
2. La función de probabilidad: P(X = x)
Para una variable discreta, lo que nos interesa es saber que probabilidad hay de cada valor. Esto se llama función de probabilidad y se escribe P(X = x): la probabilidad de que la variable tome exactamente el valor x.
Imagina que lanzas un dado. La variable X es "el número que sale". La función de probabilidad dice que P(X = 1) = 1/6, P(X = 2) = 1/6, y así hasta P(X = 6) = 1/6. Cada valor tiene la misma probabilidad y la suma de las probabilidades de cada valor da 1.
2.1. La función de distribución acumulada
Hay otra función que se llama función de distribución acumulada, escrita F(x). Representa la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual que x. Se escribe F(x) = P(X menor o igual que x).
3. Esperanza matematica y varianza
La esperanza matematica, escrita E(X), es el promedio que esperarias obtener si repitieras el experimento muchisimas veces. Para una variable discreta se calcula sumando cada valor multiplicado por su probabilidad:
La varianza, escrita Var(X), mide que tan dispersos estan los valores respecto de la media. Se calcula sumando cada diferencia al cuadrado multiplicada por su probabilidad:
| Concepto | Formula en palabras | Que te dice |
|---|---|---|
| Esperanza E(X) | Suma de x por P(X=x) | El promedio que esperas a largo plazo |
| Varianza Var(X) | Suma de (x menos media) al cuadrado por P(X=x) | Que tan esparcidos estan los valores |
| Desviacion estándar | Raiz cuadrada de la varianza | La dispersión en las mismas unidades que X |
4. La distribución binomial: cuando contamos exitos
Ahora vamos al plato fuerte. Imagina que repites un experimento que tiene dos resultados: exito o fracaso. Lo repites N veces. La distribución binomial te dice cuantos exitos en total vas a obtener.
El nombre viene de Jakob Bernoulli, quien la estudio a finales del siglo XVII. Abraham de Moivre desarrollo la aproximación normal a la binomial unos años después.
4.1. Las cuatro condiciones para que sea binomial
- N ensayos fijos: repites el experimento un número definido de veces, N.
- Dos resultados: cada ensayo solo puede terminar en exito o fracaso.
- Misma probabilidad p: la probabilidad de exito se mantiene constante en cada ensayo.
- Ensayos independientes: el resultado de un ensayo no afecta al siguiente.
5. La fórmula de la binomial como receta de cocina
Te voy a explicar la fórmula como si fuera una receta de cocina, paso a paso. No te asustes, que tiene tres ingredientes:
Donde:
- N es el número total de ensayos
- x es el número de exitos que te interesa
- p es la probabilidad de exito en cada ensayo
- la combinatoria cuenta de cuantas formas pueden distribuirse los x exitos entre los N ensayos
Veamos los tres ingredientes uno por uno:
Ingrediente 1: la combinatoria
Cuenta de cuantas maneras puedes elegir x exitos de entre N ensayos. Por ejemplo, de cuantas formas pueden salir 2 exitos en 5 ensayos: podrían ser los dos primeros, el primero y el tercero, etc. La combinatoria lo cuenta por ti.
Ingrediente 2: p elevado a x
La probabilidad de que ocurran exactamente x exitos seguidos. Si la probabilidad de exito es p, multiplicar p por si misma x veces da la probabilidad de esos x exitos.
Ingrediente 3: (1 menos p) elevado a (N menos x)
La probabilidad de que los ensayos restantes sean fracasos. Si hubo x exitos, entonces hubo N menos x fracasos, cada uno con probabilidad (1 menos p).
El resultado final
Multiplicar los tres ingredientes te da P(X = x): la probabilidad de obtener exactamente x exitos en N ensayos.
6. Media y varianza de la binomial: el truco N por P
Aqui viene la parte clave. Para la binomial no tienes que calcular la media y la varianza con la fórmula general larguisima de la sección 3. Hay una fórmula corta, un atajo:
media: np varianza: np(1-p)
7. Ejemplos psicologicos
En psicologia clínica e investigación, la binomial aparece en innumerables contextos. Veamos casos concretos:
| Situacion | N | p | Pregunta tipica |
|---|---|---|---|
| Pacientes que responden a un tratamiento | 15 tratados | 0.60 responden | Probabilidad de que al menos 10 respondan |
| Items de un test acertados al azar | 20 items | 0.25 (4 opciones) | Probabilidad de acertar 5 o más por azar |
| Recuperacion de fobia tras terapia | 30 pacientes | 0.70 recuperados | Probabilidad de que recuperen entre 18 y 22 |
El primer caso es clásico en evaluación de tratamientos. Sabes que historicamente el 60 por ciento de los pacientes responde a cierto abordaje. Tratas a 15 personas nuevas. Cuanta probabilidad hay de que respondan al menos 10? Usas la fórmula de la binomial con N = 15 y p = 0.60, y sumas las probabilidades de x = 10, 11, 12, hasta 15.
8. La aproximación normal a la binomial
Cuando N es grande, calcular término por término se vuelve tedioso. De Moivre descubrio que si N es suficientemente grande, la binomial se parece mucho a una campana de Gauss (una distribución normal). Esto se llama aproximación normal a la binomial.
Para la aproximación, usas una normal con la misma media y varianza que la binomial: media N por p y varianza N por p por (1 menos p). Asi pasas de sumar muchos términos a usar la tabla de la normal.
9. Para el parcial
- Definir variable aleatoria discreta y dar un ejemplo psicológico.
- Calcular la probabilidad de un valor usando la fórmula de la binomial.
- Calcular media y varianza de una binomial con los atajos: media = N por p, varianza = N por p por (1 menos p).
- Verificar si un problema cumple las cuatro condiciones para ser binomial.
- Explicar cuando se puede usar la aproximación normal a la binomial.
- Discreta: valores contables (0, 1, 2, 3...). No decimales.
- Funcion de probabilidad: P(X = x). La suma de cada valor da 1.
- Binomial: cuenta exitos en N ensayos con probabilidad p cada uno.
- Cuatro condiciones: N fijo, dos resultados, misma p, independencia.
- Formula: combinatoria por p a la x por (1-p) a la (N-x).
- Media: N por p. Varianza: N por p por (1 menos p).
- Aproximacion normal: cuando N por p y N por (1-p) superan 5.
10. Preguntas de autoevaluación
1. Como distingues una variable discreta de una continua?
La discreta toma valores contables, tipicamente enteros como 0, 1, 2, 3. La continua puede tomar valores continuos dentro de un intervalo, incluidos decimales. "Cuantos pacientes responden" es discreta. "Cuanto tiempo tardan en responder" es continua.
2. Cuales son las cuatro condiciones para que un problema sea binomial?
Numero fijo de ensayos N, dos resultados posibles por ensayo (exito o fracaso), misma probabilidad p de exito en cada ensayo, e independencia entre ensayos. Si falla alguna, no es binomial.
3. Si N = 20 y p = 0.30, cual es la media y la varianza?
Media = N por p = 20 por 0.30 = 6. Varianza = N por p por (1 menos p) = 20 por 0.30 por 0.70 = 4.2. La desviación estándar es la raiz cuadrada de 4.2, aproximadamente 2.05.
4. Que significa P(X = x) en una variable discreta?
Es la probabilidad de que la variable tome exactamente el valor x. Se llama función de probabilidad. La suma de P(X = x) para cada valor posible de x tiene que dar 1.
5. Cuando puedes usar la aproximación normal a la binomial?
Cuando N por p es mayor o igual a 5 y N por (1 menos p) también es mayor o igual a 5. En ese caso, la binomial se aproxima con una normal de media N por p y varianza N por p por (1 menos p).
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