En una frase: la binomial cuenta cuantos éxitos salieron en N intentos.
1. Que es una variable aleatoria discreta
Te lo explico como yo lo entiendo: una variable aleatoria discreta es, básicamente, una variable que solo puede tomar valores que puedes contar con los dedos. Cero, uno, dos, tres, cuatro... No hay decimales intermedios. No puede valer 2.7. Es o no es.
Ejemplos clásicos en psicología: cuantos pacientes de un grupo de 15 responden a un tratamiento, cuantas veces una persona revisa el teléfono en una hora, cuantos ítems de un test acierta un estudiante. En los tres casos contamos cosas enteras.
2. La función de probabilidad: P(X = x)
Para una variable discreta, lo que nos interesa es saber que probabilidad hay de cada valor. Esto se llama función de probabilidad y se escribe P(X = x): la probabilidad de que la variable tome exactamente el valor x.
Imagina que lanzas un dado. La variable X es "el número que sale". La función de probabilidad dice que P(X = 1) = 1/6, P(X = 2) = 1/6, y así hasta P(X = 6) = 1/6. Cada valor tiene la misma probabilidad y la suma de las probabilidades de cada valor da 1.
2.1. La función de distribución acumulada
Hay otra función que se llama función de distribución acumulada, escrita F(x). Representa la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual que x. Se escribe F(x) = P(X menor o igual que x).
3. Esperanza matemática y varianza
La esperanza matemática, escrita E(X), es el promedio que esperarías obtener si repitieras el experimento muchísimas veces. Para una variable discreta se calcula sumando cada valor multiplicado por su probabilidad:
La varianza, escrita Var(X), mide que tan dispersos están los valores respecto de la media. Se calcula sumando cada diferencia al cuadrado multiplicada por su probabilidad:
| Concepto | Formula en palabras | Que te dice |
|---|---|---|
| Esperanza E(X) | Suma de x por P(X=x) | El promedio que esperas a largo plazo |
| Varianza Var(X) | Suma de (x menos media) al cuadrado por P(X=x) | Que tan esparcidos están los valores |
| Desviación estándar | Raíz cuadrada de la varianza | La dispersión en las mismas unidades que X |
4. La distribución binomial: cuando contamos éxitos
Ahora vamos al plato fuerte. Imagina que repites un experimento que tiene dos resultados: éxito o fracaso. Lo repites N veces. La distribución binomial te dice cuantos éxitos en total vas a obtener.
El nombre viene de Jakob Bernoulli, quien la estudio a finales del siglo XVII. Abraham de Moivre desarrollo la aproximación normal a la binomial unos años después.
4.1. Las cuatro condiciones para que sea binomial
- N ensayos fijos: repites el experimento un número definido de veces, N.
- Dos resultados: cada ensayo solo puede terminar en éxito o fracaso.
- Misma probabilidad p: la probabilidad de éxito se mantiene constante en cada ensayo.
- Ensayos independientes: el resultado de un ensayo no afecta al siguiente.
5. La fórmula de la binomial como receta de cocina
Te voy a explicar la fórmula como si fuera una receta de cocina, paso a paso. No te asustes, que tiene tres ingredientes:
Donde:
- N es el número total de ensayos
- x es el número de éxitos que te interesa
- p es la probabilidad de éxito en cada ensayo
- la combinatoria cuenta de cuantas formas pueden distribuirse los x éxitos entre los N ensayos
Veamos los tres ingredientes uno por uno:
Ingrediente 1: la combinatoria
Cuenta de cuantas maneras puedes elegir x éxitos de entre N ensayos. Por ejemplo, de cuantas formas pueden salir 2 éxitos en 5 ensayos: podrían ser los dos primeros, el primero y el tercero, etc. La combinatoria lo cuenta por ti.
Ingrediente 2: p elevado a x
La probabilidad de que ocurran exactamente x éxitos seguidos. Si la probabilidad de éxito es p, multiplicar p por si misma x veces da la probabilidad de esos x éxitos.
Ingrediente 3: (1 menos p) elevado a (N menos x)
La probabilidad de que los ensayos restantes sean fracasos. Si hubo x éxitos, entonces hubo N menos x fracasos, cada uno con probabilidad (1 menos p).
El resultado final
Multiplicar los tres ingredientes te da P(X = x): la probabilidad de obtener exactamente x éxitos en N ensayos.
6. Media y varianza de la binomial: el truco N por P
Aquí viene la parte clave. Para la binomial no tienes que calcular la media y la varianza con la fórmula general larguisima de la sección 3. Hay una fórmula corta, un atajo:
media: np varianza: np(1-p)
7. Ejemplos psicológicos
En psicología clínica e investigación, la binomial aparece en innumerables contextos. Veamos casos concretos:
| Situación | N | p | Pregunta típica |
|---|---|---|---|
| Pacientes que responden a un tratamiento | 15 tratados | 0.60 responden | Probabilidad de que al menos 10 respondan |
| Ítems de un test acertados al azar | 20 ítems | 0.25 (4 opciones) | Probabilidad de acertar 5 o más por azar |
| Recuperación de fobia tras terapia | 30 pacientes | 0.70 recuperados | Probabilidad de que recuperen entre 18 y 22 |
El primer caso es clásico en evaluación de tratamientos. Sabes que históricamente el 60 por ciento de los pacientes responde a cierto abordaje. Tratas a 15 personas nuevas. Cuanta probabilidad hay de que respondan al menos 10? Usas la fórmula de la binomial con N = 15 y p = 0.60, y sumas las probabilidades de x = 10, 11, 12, hasta 15.
8. La aproximación normal a la binomial
Cuando N es grande, calcular término por término se vuelve tedioso. De Moivre descubrió que si N es suficientemente grande, la binomial se parece mucho a una campana de Gauss (una distribución normal). Esto se llama aproximación normal a la binomial.
Para la aproximación, usas una normal con la misma media y varianza que la binomial: media N por p y varianza N por p por (1 menos p). Así pasas de sumar muchos términos a usar la tabla de la normal.
9. Para el parcial
- Definir variable aleatoria discreta y dar un ejemplo psicológico.
- Calcular la probabilidad de un valor usando la fórmula de la binomial.
- Calcular media y varianza de una binomial con los atajos: media = N por p, varianza = N por p por (1 menos p).
- Verificar si un problema cumple las cuatro condiciones para ser binomial.
- Explicar cuando se puede usar la aproximación normal a la binomial.
- Discreta: valores contables (0, 1, 2, 3...). No decimales.
- Función de probabilidad: P(X = x). La suma de cada valor da 1.
- Binomial: cuenta éxitos en N ensayos con probabilidad p cada uno.
- Cuatro condiciones: N fijo, dos resultados, misma p, independencia.
- Formula: combinatoria por p a la x por (1-p) a la (N-x).
- Media: N por p. Varianza: N por p por (1 menos p).
- Aproximación normal: cuando N por p y N por (1-p) superan 5.
10. Preguntas de autoevaluación
1. Como distingues una variable discreta de una continua?
La discreta toma valores contables, típicamente enteros como 0, 1, 2, 3. La continua puede tomar valores continuos dentro de un intervalo, incluidos decimales. "Cuantos pacientes responden" es discreta. "Cuanto tiempo tardan en responder" es continua.
2. Cuales son las cuatro condiciones para que un problema sea binomial?
Número fijo de ensayos N, dos resultados posibles por ensayo (éxito o fracaso), misma probabilidad p de éxito en cada ensayo, e independencia entre ensayos. Si falla alguna, no es binomial.
3. Si N = 20 y p = 0.30, cual es la media y la varianza?
Media = N por p = 20 por 0.30 = 6. Varianza = N por p por (1 menos p) = 20 por 0.30 por 0.70 = 4.2. La desviación estándar es la raíz cuadrada de 4.2, aproximadamente 2.05.
4. Que significa P(X = x) en una variable discreta?
Es la probabilidad de que la variable tome exactamente el valor x. Se llama función de probabilidad. La suma de P(X = x) para cada valor posible de x tiene que dar 1.
5. Cuando puedes usar la aproximación normal a la binomial?
Cuando N por p es mayor o igual a 5 y N por (1 menos p) también es mayor o igual a 5. En ese caso, la binomial se aproxima con una normal de media N por p y varianza N por p por (1 menos p).
Estudia esta materia jugando en la Escuela PsiqueAcadémica — la sesión 1 es gratis. O comprueba lo que sabes en la sección de tests y simulacros.