Correlación y regresión lineal simple

1. Coeficiente de correlación de Pearson

El coeficiente de Pearson (r) cuantifica el grado de asociación lineal entre dos variables medidas, como mínimo, en nivel de intervalo. La fórmula resume una idea física concreta: si tomamos los pares (X, Y), los convertimos a puntuaciones estandarizadas (z) y promediamos el producto de esos z, el resultado cae de manera invariable entre -1 y +1. Un valor de r = 0,60 implica que la covarianza estandarizada promedio entre las dos variables vale 0,60; el 64% de la varianza restante se reparte entre error de medición y relaciones no lineales que el coeficiente no capta.

Field, en Discovering Statistics (edición con SPSS/R), insiste en algo que la fórmula esconde: r mide únicamente asociación lineal. Si la nube dibuja una curva en U, r puede arrojar un valor cercano a cero aun cuando la relación entre X e Y sea intensa y sistemática. Por eso, antes de calcular r, abre un diagrama de dispersión. El gráfico no es un adorno: es el filtro que decide si Pearson tiene sentido o si conviene otra herramienta. Pardo y Ruiz, en Análisis de datos con SPSS, añaden el mismo recordatorio desde la práctica psicométrica: ningún coeficiente se interpreta sin haber visto primero la nube.

El rango va de -1 a +1. r = +1 indica que los datos caen sobre una recta con pendiente positiva exacta; r = -1, sobre una recta con pendiente negativa exacta; r = 0, ausencia de asociación lineal (aunque pueda haber otro tipo de relación sistemática). El signo informa sobre la dirección; la magnitud, sobre la fuerza. r = -0,70 y r = +0,70 tienen la misma intensidad; lo que cambia es el sentido del cambio en Y cuando X aumenta una unidad. En psicología, los signos negativos suelen ser tan informativos como los positivos: una correlación negativa entre ansiedad y rendimiento vale tanto, en magnitud, como una positiva entre horas de estudio y nota.

Una regla operativa útil para psicología, citada por Cohen y recogida por Tabachnick y Fidell en Using Multivariate Statistics: alrededor de r = 0,10 se considera efecto menor; r = 0,30, efecto medio; r = 0,50, efecto mayor. Estas referencias sirven para diseñar estudios y para interpretar resultados; no sirven para decretar si un coeficiente es grande o diminuto en abstracto, al margen del campo. Un r = 0,20 sobre una variable difícil de predecir (un marcador biológico, por ejemplo) puede ser más informativo que un r = 0,45 sobre una variable trivial cuya varianza se explica por milifactores contextuales.

APA 7 pide reportar r con dos decimales, junto al tamaño de la muestra y al valor p asociado: r(N - 2) = .63, p = .012. La convención tipográfica reserva la cursiva para el symbol estadístico y el romano para el valor numérico. Conviene añadir el intervalo de confianza al 95% cuando se discute la precisión de la estimación, sobre todo con muestras menores a 100 observaciones. Sin IC, el coeficiente es un punto en el vacío; con IC, el coeficiente se convierte en un rango con incertidumbre calibrada.

2. Correlaciones no paramétricas: Spearman

Spearman (rho, rho) responde a una necesidad concreta: cuando los datos son ordinales (rangos, escalas Likert tratadas como ordinales, categorías ordenadas) o cuando la relación entre X e Y es monótona pero no lineal, Pearson subestima o distorsiona la asociación. La solución es elegante: en lugar de operar sobre los valores brutos, Spearman convierte cada variable en rangos y aplica la fórmula de Pearson sobre esos rangos. El resultado, rho, conserva las propiedades formales de r: rango entre -1 y +1, interpretación direccional idéntica, sensibilidad a la monotonía en lugar de a la linealidad estricta.

Si al subir X, Y sube de forma sistemática (sin importar que la curva sea logarítmica, exponencial, escalonada o ligeramente curvada), rho captará la asociación; Pearson probablemente la subestimará. Esa es la ganancia central de Spearman: tolera patrones no lineales en la medida en que la dirección del cambio se mantenga consistente a lo largo de X. En estudios donde la variable dependiente tiene techo (por ejemplo, rendimiento máximo en una tarea fácil), la relación lineal con X se rompe por arriba; Spearman sobrevive, Pearson colapsa.

Pardo y Ruiz añaden un criterio práctico que se repite en las aulas de psicología iberoamericana: si los datos son claramente ordinales, si la nube muestra un patrón curvo, si hay outliers severos o si el supuesto de normalidad está quebrado, recurre a Spearman antes que a transformaciones forzadas. La transformación logarítmica o raíz puede normalizar; Spearman elude la discusión de forma íntegra, lo cual ahorra tiempo cuando se trabaja con cuestionarios aplicados.

El precio a pagar: Spearman descarta información sobre la magnitud de las diferencias entre rangos. Si dos personas tienen rangos 1 y 2 en ansiedad, Spearman no registra que la primera apenas se diferenciaba de la segunda en el puntaje bruto; para Pearson esa diferencia sí cuenta. Por eso, con variables de intervalo razonablemente normales y sin outliers severos, Pearson conserva más información y reporta el mismo fenómeno con mayor potencia estadística. Spearman gana en robustez; Pearson gana en información. La elección depende del dato, no del analista.

Un error frecuente en exámenes: aplicar Spearman "porque es más fácil" o "porque el SPSS lo entrega con un clic". La decisión se toma por la naturaleza de los datos y por la forma de la relación, no por la comodidad del software. Si tienes dos variables de intervalo y la nube es razonablemente recta, Pearson; si tienes rangos, outliers severos o relación monótona no lineal, Spearman. Esa es la regla operativa que el parcial espera, y la que separa un informe leído de un informe firmado.

3. La recta de regresión y su interpretación

La recta de regresión responde una pregunta distinta a la del coeficiente: dado un valor de X, ¿qué valor de Y cabe esperar? La forma canónica, Y = a + bX, contiene dos parámetros con interpretación directa. La pendiente (b) informa cuánto cambia Y, en las unidades originales de Y, cuando X aumenta una unidad. El intercepto (a) informa el valor esperado de Y cuando X vale cero; en psicología, ese valor suele carecer de aplicación práctica, porque "ansiedad cero", "horas de estudio cero" o "años de escolaridad cero" son constructos teóricos antes que observaciones empíricas.

El cálculo de b se obtiene a partir de la covarianza entre X e Y y de la varianza de X: b = cov(X, Y) / var(X). Multiplicado por r y por el cociente entre las desviaciones típicas, se llega a la misma cifra: b = r por (s_Y / s_X). Esa equivalencia revela algo pedagógico importante: r y b están emparentados, pero no dicen lo mismo. r resume la fuerza de la asociación en una escala adimensional; b, la magnitud del cambio en las unidades concretas del estudio. Reportar ambos, y entender por qué con frecuencia no coinciden en "importancia", es parte del oficio.

Un ejemplo de aula en Barranquilla: en una cohorte de 80 estudiantes de un curso de psicología en la Universidad del Norte, se registró la nota final del primer parcial (Y, escala 0-5) y las horas semanales dedicadas al estudio autónomo (X, 0-30). La recta estimada arrojó a = 1,20 y b = 0,11. Lectura literal: un estudiante que reporta cero horas de estudio obtendría, en promedio, 1,20 sobre 5 (un valor teórico sin aplicación práctica, porque ningún estudiante estudió cero). Cada hora adicional de estudio se asocia, en promedio, con un incremento de 0,11 sobre 5 en la nota. La pendiente importa más que el intercepto en esta lectura; el intercepto describe un escenario que no existe en los datos.

APA 7 recomienda reportar la ecuación con los coeficientes y sus errores estándar: b = 0,11, EE = 0,03, t(78) = 3,67, p = .001, IC 95% [0,05, 0,17]. El intervalo de confianza para la pendiente es lo que convierte la recta en una herramienta interpretable: si el IC incluye el cero, no hay evidencia de asociación lineal distinta del azar. Esa comprobación es elemental y, sin embargo, muchos informes la saltean porque confunden el valor p del coeficiente con la precisión de la estimación.

La recta no es causalidad. Una pendiente positiva entre horas de estudio y nota no demuestra que estudiar cause mejores notas: ambas podrían ser efecto de una tercera variable (motivación, capital cultural, calidad del sueño, nivel socioeconómico). La regresión, como Pearson, describe asociación bajo un modelo específico; la inferencia causal exige diseño experimental, manipulación y control de confundidoras. Cuando el parcial te pida interpretar un coeficiente, agrega esta cautela aunque no te la pidan: la asociación ajustada no equivale a efecto causal.

4. Supuestos de la regresión simple

La recta de regresión descansa sobre cinco supuestos que el SPSS o R verifican con un clic, pero que muchos estudiantes saltean. Saltarlos equivale a firmar resultados sin leerlos. Repasemos cada uno con su diagnóstico correspondiente y con las consecuencias concretas de su violación.

Linealidad. La relación entre X e Y debe poder aproximarse por una recta. Se diagnostica con el diagrama de dispersión: si la nube dibuja una curva, una parábola o una U, la recta lineal quedará corta. Alternativas: añadir términos polinómicos (X al cuadrado, X al cubo), aplicar transformaciones a Y (logaritmo, raíz cuadrada) o usar modelos flexibles como regresión polinómica o splines. Si la linealidad no se sostiene, ni Pearson ni la regresión simple cuentan la historia de forma íntegra; hace falta un modelo distinto o una transformación bien justificada.

Independencia de los residuos. Cada observación debe ser independiente de las demás. La regresión clásica asume que el error de un sujeto no predice el error del siguiente. En diseños con medidas repetidas, datos anidados (estudiantes dentro de aulas, pacientes dentro de terapeutas) o series temporales, la independencia se viola y los errores estándar se inflan, lo que produce valores p falsamente bajos. Diagnóstico: prueba de Durbin-Watson para autocorrelación; modelado multinivel para datos jerárquicos; modelos de ecuaciones estructurales para mediciones longitudinales.

Homocedasticidad. La varianza de los residuos debe ser constante a lo largo de los valores predichos de Y. Si los residuos se abren en abanico (varianza creciente con Y) o se cierran (varianza decreciente), el modelo heterocedástico está presente y los intervalos de confianza dejan de ser confiables. Diagnóstico visual: gráfico de residuos estandarizados contra valores predichos; prueba formal: Breusch-Pagan o White. Remedio: transformar Y, usar errores estándar robustos (HC3, HC4) o modelar la varianza explícitamente.

Normalidad de los residuos. Los residuos deben aproximarse a una distribución normal con media cero. Importa sobre todo para los intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis sobre los coeficientes; la estimación puntual de b es robusta a desviaciones moderadas. Diagnóstico: Q-Q plot (los residuos deben caer cerca de la diagonal); prueba de Shapiro-Wilk para muestras pequeñas; Kolmogorov-Smirnov con corrección de Lilliefors para muestras grandes. Si la normalidad se quiebra, los IC pierden exactitud, aunque el coeficiente siga siendo insesgado en muestras grandes por el teorema central del límite.

X medida con poco error. La regresión clásica asume que la variable independiente se mide sin error (o con error despreciable). En psicología, donde los cuestionarios contienen error de medición, este punto suele pasar inadvertido. Si X contiene error sustancial, la pendiente estimada se atenúa hacia cero (sesgo de atenuación), lo que produce subestimación sistemática del efecto. Solución: corrección por atenuación o modelos de ecuaciones estructurales con variables latentes que separan la medición del constructo.

1. Abre el diagrama de dispersión y confirma que la nube no sugiere una curva pronunciada ni un patrón en U.
2. Grafica residuos estandarizados contra valores predichos y busca patrón de abanico, embudo o curvatura.
3. Construye el Q-Q plot de los residuos y verifica que caen sobre la diagonal sin colas extremas.
4. Calcula Durbin-Watson si los datos tienen orden temporal o sospecha de agrupamiento por sujeto.
5. Evalúa la calidad de medición de X (confiabilidad alfa, omega, validez) antes de interpretar la pendiente.

5. Coeficiente de determinación R cuadrado

R cuadrado traduce la fuerza de la asociación lineal en una proporción de varianza. Formalmente, R cuadrado = var(Y_predicho) / var(Y_observado). Cuando r = 0,60 entre X e Y, R cuadrado vale 0,36: el 36% de la varianza de Y se asocia linealmente con X; el 64% restante se reparte entre error de medición, variables omitidas y relaciones no lineales que el modelo lineal no capta.

La interpretación práctica requiere calibración según el campo. Cohen propuso, en sus trabajos recogidos por Field, las referencias aproximadas: R cuadrado = 0,02 (efecto menor), R cuadrado = 0,13 (efecto medio), R cuadrado = 0,26 (efecto mayor) para ciencias del comportamiento. Estas cifras son orientativas, no leyes físicas. En física de partículas, un R cuadrado = 0,70 puede ser decepcionante; en psicología clínica, un R cuadrado = 0,30 sobre un marcador biológico puede ser un hallazgo publicable. La vara cambia con la disciplina, y usar la vara equivocada lleva a conclusiones erradas.

Una confusión frecuente: R cuadrado no es porcentaje de personas. Cuando alguien dice "el 36% de los sujetos queda explicado por X", está traduciéndolo mal. R cuadrado describe proporción de varianza, no de individuos. Si dos grupos tienen medias muy distintas pero poca varianza interna, R cuadrado puede ser alto sin que "explique" a ninguna persona particular. Esa lectura equivocada aparece seguido en informes introductorios y se penaliza en parciales.

Otro error común: equiparar significance estadística con tamaño de efecto. Un R cuadrado = 0,01 puede alcanzar p < 0,001 con N = 10.000, y un R cuadrado = 0,30 puede no alcanzar significance con N = 20. La significance depende del tamaño muestral y de la magnitud del efecto; R cuadrado depende solo de la magnitud del efecto. En psicología, donde N suele ser modesto, un R cuadrado significativo informa de algo, pero no resuelve por sí solo si es grande o pequeño. Por eso Cohen complementa el IC con referencias de magnitud.

El R cuadrado ajustado penaliza la inclusión de predictores que no aportan varianza explicada adicional. En regresión simple (un solo predictor), R cuadrado y R cuadrado ajustado difieren solo por una corrección menor; la diferencia se vuelve relevante cuando se incorporan más variables en regresión múltiple. Para el parcial de regresión simple, R cuadrado y R cuadrado ajustado suelen intercambiarse, pero conviene aclarar cuál se reporta y por qué. Esa claridad es parte del oficio.