Estadística descriptiva avanzada

Esta unidad cubre el segundo tramo de estadística descriptiva: lo que necesitas para mirar un conjunto de datos con criterio antes de pasar a inferencia o a modelos más exigentes. Vamos a trabajar cinco bloques en orden. Cada uno parte de una definición precisa, presenta las métricas centrales y cierra con trampas frecuentes en parcial. Antes de tocar pruebas de hipótesis o ANOVA conviene tener claro qué dice una distribución, cómo se transforma cuando hace falta y cuándo un gráfico dice más que un valor p. Si necesitas repasar el andamiaje del diseño que sostiene a estos datos, vuelve a Diseños experimentales y cuasiexperimentales o a Alcances, hipótesis y operacionalización. Para la parte de justificación y viabilidad del estudio, consulta Objetivos, justificación y viabilidad.

1. Evalúa la forma de la distribución antes de resumir con un solo número.
2. Transforma cuando la asimetría o las colas dificultan el análisis.
3. Contrasta normalidad con una prueba formal y un gráfico, no solo con un valor p.
4. Reporta tendencia, dispersión y forma con índices congruentes con el tipo de variable.
5. Elige gráficos honestos, con ejes sin truncar y leyendas legibles.

1. Distribuciones y su evaluación

Una distribución es el patrón que siguen los valores de una variable dentro del rango observado. Mirarla antes de calcular promedios te evita resumir un conjunto con un solo número que no representa lo que pasa. Hay familias útiles para reconocer: la normal (simétrica, con forma de campana y colas asintóticas), la uniforme (los valores dentro del intervalo son parecidos en frecuencia), la sesgada a la derecha (cola larga hacia valores altos) y la sesgada a la izquierda (cola larga hacia valores bajos). Las dos últimas dominan en ciencias sociales y salud: ingresos, tiempos de reacción, conteos de eventos y puntajes con techo suelen cargarse hacia un lado.

Para describir la forma se usan dos índices: asimetría (skewness) y curtosis (kurtosis). La primera mide hacia dónde se estira la cola; la segunda mide el peso relativo de las colas y el centro. Un valor de asimetría próximo a cero indica simetría; positivo señala cola derecha; negativo señala cola izquierda. En curtosis, la referencia es la normal con valor tres en la definición clásica (o cero en la definición excedente, según el software). Conviene reportar el valor junto con su error estándar para saber si la desviación respecto de cero es relevante.

La regla empírica aproxima proporciones dentro de una distribución normal con forma de campana: cerca del 68 por ciento de los casos cae dentro de una desviación estándar respecto de la media, cerca del 95 por ciento dentro de dos y cerca del 99.7 por ciento dentro de tres. Esta regla es una guía rápida, no una verdad universal; deja de servir cuando la distribución se aleja de la normal o cuando hay valores atípicos marcados.

2. Transformaciones de variables

Transformar una variable significa aplicarle una función matemática con el objetivo de acercarla a una forma tratable para el análisis. Se transforma cuando hay asimetría marcada, cuando la varianza crece con la media (heterocedasticidad) o cuando un modelo exige linealidad aproximada. Las transformaciones más usadas son cuatro: logaritmo, raíz cuadrada, inverso y reflexión previa al logaritmo. La elección depende del rango y de la presencia de ceros o negativos.

1. Logaritmo natural. Acerca distribuciones con cola derecha marcada, en casos donde la variable es positiva. Reduce el peso de los valores grandes y comprime la escala.
2. Raíz cuadrada. Funciona bien con conteos y con datos Poisson moderados. Estira poco y mantiene la lectura intuitiva.
3. Inverso (uno dividido por x). Útil con colas muy largas, por ejemplo tiempos de reacción con valores enormes. Hace perder lectura directa.
4. Reflexión previa al logaritmo. Cuando hay valores negativos o ceros, se refleja la variable (se resta el máximo más uno y se toma el logaritmo de la nueva variable) para hacer aplicable el logaritmo.

La familia Box-Cox generaliza la idea: busca el exponente lambda que maximiza la normalidad aproximada de la variable transformada. Es un atajo útil cuando no tienes clara la transformación adecuada. Aquí la mencionamos sin desplegar la fórmula exacta: en la práctica se usa como herramienta y se reporta el lambda elegido junto con la transformación aplicada.

3. Normalidad: pruebas y gráficos

La hipótesis de normalidad plantea que los datos provienen de una distribución normal con una media y una varianza desconocidas. Contrastarla es un paso habitual antes de pruebas paramétricas, porque muchas de ellas (t de Student, ANOVA, regresión por mínimos cuadrados) son robustas a desviaciones moderadas cuando n es intermedio, pero pueden deteriorarse con asimetría marcada o colas pesadas. Por eso se combinan pruebas formales con gráficos: cada una aporta una pieza del veredicto.

Las dos pruebas más usadas son Shapiro-Wilk y Kolmogorov-Smirnov con corrección de Lilliefors. Shapiro-Wilk tiene potencia alta con muestras pequeñas y medianas, hasta alrededor de doscientos casos, y suele ser la primera opción. Kolmogorov-Smirnov por sí solo exige parámetros conocidos; por eso se aplica la corrección de Lilliefors, que relaja ese requisito y lo hace utilizable con parámetros estimados. Esta versión funciona con mayor solidez con n grande. En ambos casos la lectura es la misma: un valor p bajo lleva a rechazar la normalidad.

El gráfico Q-Q plot enfrenta los cuantiles observados contra los cuantiles teóricos de una normal. Si los puntos se alinean sobre la diagonal, la variable se comporta como una normal. Desviaciones sistemáticas en los extremos señalan colas pesadas o colas livianas; desviaciones en uno solo de los extremos señalan asimetría. El histograma complementa la lectura cuando el n es suficiente para que la forma sea estable. Ninguno de los dos reemplaza a la prueba formal, y la prueba formal no reemplaza al gráfico.

4. Índices de tendencia, dispersión y forma

Una variable se resume en tres planos: tendencia central (dónde se ubica el grueso), dispersión (cuánto se separan los valores) y forma (cómo se distribuyen). Reportar los tres planos juntos evita conclusiones incompletas: dos grupos con la misma media pueden tener varianzas muy distintas, y dos grupos con la misma mediana pueden tener colas opuestas.

En tendencia central hay tres medidas: media, mediana y moda. La media es sensible a valores extremos porque suma cada observación; la mediana es robusta porque usa solo la posición. La moda es el valor más frecuente, útil con variables categóricas o con distribuciones multimodales. Con datos asimétricos, la mediana suele describir la ubicación con mayor solidez que la media. Con datos multimodales, ninguna de las tres cuenta la historia sola.

En dispersión hay cuatro medidas de uso frecuente: rango, varianza, desviación estándar y rango intercuartílico (IQR). El rango usa solo los extremos y se distorsiona con atípicos. La varianza y la desviación estándar usan el conjunto de observaciones; la desviación estándar se interpreta en la misma unidad que la variable. El IQR, igual a la diferencia entre el cuartil tres y el cuartil uno, es robusto y útil cuando hay asimetría. La desviación estándar muestral usa n menos uno en el denominador; la poblacional usa n. La muestral es la que aparece cuando calculas a partir de una muestra.

Para comparar dispersión entre escalas distintas sirve el coeficiente de variación (CV): desviación estándar dividida por la media, expresada como proporción o porcentaje. Es útil cuando comparas variables medidas en unidades diferentes (por ejemplo, puntaje y tiempo) o cuando la media varía entre grupos.

En forma se reportan la asimetría y la curtosis, acompañadas de su error estándar. Una asimetría con magnitud mayor que el doble de su error estándar sugiere asimetría relevante; una curtosis con magnitud mayor que el doble de su error estándar sugiere colas pesadas o livianas relevantes.

5. Visualización efectiva de datos

Un gráfico bien elegido comunica en segundos lo que una tabla tarda en decir. Cada tipo de gráfico resuelve una pregunta específica. El histograma resume la forma de una variable continua y permite ver asimetría y colas. El boxplot muestra mediana, IQR, bigotes y atípicos, y permite comparar grupos. El violin une la idea del boxplot con una estimación de densidad y deja ver si hay bimodalidad. El diagrama de dispersión enfrenta dos variables numéricas y expone relaciones, linealidades y atípicos bidimensionales.

1. Histograma. Útil con n intermedio y grande. Cuidado con el ancho del bin: muy ancho oculta la forma; muy estrecho añade ruido.
2. Boxplot. Útil para comparar grupos y detectar atípicos. La caja marca el IQR; la línea interna marca la mediana; los bigotes alcanzan valores dentro de 1.5 veces el IQR desde los bordes de la caja.
3. Violin. Útil para detectar bimodalidad u otras formas no captadas por el boxplot. Con n pequeño puede verse engañoso.
4. Diagrama de dispersión. Útil para evaluar relación lineal, heterocedasticidad y atípicos bidimensionales. Complementa, no reemplaza, al coeficiente de correlación.

El gráfico debe ser legible sin leer el texto: títulos claros, ejes etiquetados, leyenda sin ambigüedad y una sola historia por gráfico. Cuando compares entre grupos, usa el mismo rango en cada uno de los paneles y mantén la misma escala de color. Cuando presentes una variable ordinal, describe su ubicación con mediana e IQR y acompaña con un boxplot; evita la media con desviación estándar en ordinales, porque la media no tiene sentido cuando los valores son rangos.

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