En una frase: covarianza detecta, Pearson compara.
1. Covarianza: el primer paso
La covarianza mide cómo varían dos variables de forma conjunta. Para cada par de datos (x, y) se calcula cuánto se aleja cada valor de su respectiva media, se multiplican esas desviaciones y se promedian. El signo del resultado indica la dirección de la asociación.
Covarianza positiva
Las dos variables suben o bajan juntas. Ejemplo: horas de estudio y nota del examen.
Covarianza negativa
Una variable sube mientras la otra baja. Ejemplo: nivel de estrés y horas de sueño.
Covarianza cercana a cero
No hay patrón lineal claro. Ejemplo: talla de calzado y calificación en matemática.
El problema de la covarianza es que su valor depende de las unidades en que se miden las variables. Una covarianza de 300 entre "estatura en centímetros" y "peso en gramos" no se puede comparar directamente con una covarianza de 0.85 entre "CI en puntos" y "promedio académico". Por eso se necesita un paso adicional: estandarizar.
- Calcular la desviación de cada dato respecto a su media.
- Multiplicar las desviaciones cruzadas de X y de Y.
- Sumar y dividir entre n menos 1 para obtener la covarianza.
- Estandarizar dividiendo por el producto de las dos desviaciones estándar: ese es el coeficiente r de Pearson.
2. Coeficiente de correlación de Pearson
Karl Pearson formalizó en 1896 el coeficiente que lleva su nombre, a partir de los trabajos de Francis Galton sobre la "co-relación" entre características físicas. El coeficiente r divide la covarianza entre el producto de las dos desviaciones estándar, lo que cancela las unidades y produce un número puro que va de -1 a +1.
Covarianza
Mide dirección del vínculo, pero depende de las unidades.
DE de X por DE de Y
Estandariza el resultado: cancela las unidades.
Coeficiente r
Número puro entre -1 y +1, comparable entre estudios.
| Valor de r | Fuerza de la relación | Dirección | Ejemplo en psicología |
|---|---|---|---|
| 0.90 a 1.00 | Muy fuerte | Positiva o negativa | CI y rendimiento en pruebas similares |
| 0.70 a 0.89 | Fuerte | Positiva o negativa | Ansiedad-rasgo y ansiedad-estado |
| 0.40 a 0.69 | Moderada | Positiva o negativa | Horas de estudio y promedio académico |
| 0.20 a 0.39 | Debil | Positiva o negativa | Extraversión y satisfacción laboral |
| 0.00 a 0.19 | Muy debil o nula | — | Talla de calzado y motivación |
3. Diagrama de dispersión
El diagrama de dispersión (o nube de puntos) es la representación gráfica de la correlación. Cada punto es un par de datos (X, Y). La forma de la nube revela de inmediato si la relación es lineal, fuerte, débil o inexistente.
r cercano a +1
Nube estrecha que sube de izquierda a derecha.
r cercano a 0
Nube dispersa, sin forma definida.
Cuando los puntos forman una línea recta casi perfecta, el valor de r se acerca a +1 o a -1. Cuando la nube se dispersa sin patrón, r se acerca a 0. Si los puntos siguen un patrón curvo (por ejemplo, forma de U), Pearson puede dar un r cercano a 0 aunque exista una relación fuerte pero no lineal.
4. Coeficiente de determinación
Elevar r al cuadrado (r multiplicado por r) produce el coeficiente de determinación. Este valor indica la proporción de varianza de Y que se explica por X (y viceversa, porque la correlación es simétrica).
| r | r al cuadrado | Varianza compartida | Interpretación |
|---|---|---|---|
| 0.90 | 0.81 | 81% | El 81 por ciento de la variabilidad de Y se asocia a la variabilidad de X. |
| 0.70 | 0.49 | 49% | Aproximadamente la mitad de la varianza compartida. |
| 0.50 | 0.25 | 25% | Un cuarto de la varianza de Y se explica por X. |
| 0.30 | 0.09 | 9% | Menos de un diez por ciento de varianza compartida. |
5. Correlación no implica causalidad
El ejemplo de manual: existe una correlación positiva entre las ventas de helados y los ahogamientos en la playa. Concluir que comer helado provoca ahogamientos es absurdo. La variable confusa es la temperatura ambiental: en verano sube el consumo de helados y también aumenta la cantidad de personas que nadan, lo que eleva el riesgo de ahogamiento.
Otros ejemplos clásicos de correlación espuria:
- Número de cigüeñas y tasa de natalidad en distintas regiones (la variable confusa es el ruralismo).
- Tamaño del zapato y capacidad de lectura en niños (la variable confusa es la edad).
- Gasto en educación y tasa de criminalidad (la variable confusa es el nivel socioeconómico del municipio).
6. Correlación de Spearman
Charles Spearman propuso en 1904 un coeficiente basado en rangos: en lugar de usar los valores originales, ordena los datos de menor a mayor y asigna un puesto (1.°, 2.°, 3.°...). Luego calcula la correlación de Pearson sobre esos rangos.
| Aspecto | Pearson (r) | Spearman (rho) |
|---|---|---|
| Tipo de dato | Cuantitativo de intervalo o razón | Ordinal o cuantitativo |
| Relación que detecta | Lineal | Monotónica (lineal o curva) |
| Sensibilidad a outliers | Alta | Baja (trabaja con rangos) |
| Ejemplo de uso | CI y promedio académico | Ranking de preferencias y ranking de compra |
Pearson = rectaSpearman = rango
7. Factores que distorsionan el valor de r
8. Línea de tiempo
9. Para el parcial
- Diferencia entre covarianza y coeficiente de Pearson: la covarianza mide dirección pero depende de unidades; r estandariza y permite comparar.
- Rango de valores de r: de -1 a +1. Qué significa cada extremo.
- Qué mide r al cuadrado: proporción de varianza compartida.
- Por qué la correlación no implica causalidad y dar un ejemplo.
- Diferencia entre Pearson y Spearman: lineal vs. monotónica, cuantitativo vs. ordinal.
- Factores que afectan r: outliers, restricción del rango, no linealidad.
- Covarianza: dirección del vínculo (positiva, negativa, cero), pero depende de unidades.
- Pearson: estandariza la covarianza, va de -1 a +1, mide relación lineal.
- r al cuadrado: varianza explicada (proporción, no porcentaje de acierto).
- Correlación no es causalidad: buscar la variable confusa.
- Spearman: rangos, para datos ordinales o curvas monotónicas.
- Cuidado con outliers, rango recortado y relaciones curvas.
10. Preguntas de autoevaluación
1. Si la covarianza entre X e Y es positiva, ¿qué significa?
Que cuando los valores de X suben por encima de su media, los de Y también tienden a subir por encima de la suya. Las dos variables se mueven en la misma dirección.
2. ¿Por qué se dice que el coeficiente de Pearson es un número "puro"?
Porque al dividir la covarianza entre el producto de las dos desviaciones estándar, las unidades se cancelan. El resultado no depende de si la variable se midió en centímetros, kilogramos o puntos de CI.
3. Si r = 0.60 entre horas de estudio y nota, ¿qué porcentaje de la varianza de la nota se asocia con las horas de estudio?
Se calcula r al cuadrado: 0.60 multiplicado por 0.60 = 0.36, es decir, 36 por ciento. El 64 por ciento restante depende de otros factores.
4. ¿Cuándo se prefiere Spearman sobre Pearson?
Cuando los datos son ordinales (rangos, preferencias), cuando hay outliers que distorsionan a Pearson, o cuando la relación parece monotónica pero no lineal (forma curva que sube o baja sin cambiar de dirección).
5. Nombra tres factores que pueden reducir artificialmente el valor de r.
Outliers (valores extremos), restricción del rango (trabajar con un subgrupo ya seleccionado) y relaciones no lineales (forma de U o curvas).
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