En una frase: la regresión es la correlación puesta a trabajar para predecir.
1. De la correlación a la regresión
Vimos que la correlación de Pearson mide qué tan juntos se mueven dos variables. Pero la correlación tiene un límite: no predice. Te dice que "las horas de estudio y la nota están asociadas", pero no te dice qué nota esperar si alguien estudia 5 horas. Para eso se necesita la regresión lineal.
La idea viene de Francis Galton. En la década de 1880 estudió la relación entre la estatura de padres e hijos y notó algo raro: los padres muy altos tendían a tener hijos más altos que el promedio, pero no tan altos como ellos. Los datos "regresaban" hacia la mediocridad (él la llamó "mediocridad" en el sentido de promedio, no de calidad). De ahí salió la palabra "regresión". Karl Pearson, su discípulo, formalizó el método matemático.
2. La ecuación de la recta
La recta de regresión se escribe en texto así:
- Y pronosticado: el valor de Y que la recta predice para un X dado.
- a (intercepto u ordenada en el origen): dónde cruza la recta el eje vertical. Es el valor de Y cuando X es cero.
- b (pendiente): cuánto sube (o baja) Y por cada unidad que aumenta X. Si b es positivo, la recta sube; si es negativo, baja.
- X: el valor conocido de la variable predictora.
a = arranqueb = balance
Ejemplo numérico sencillo. Supongamos que la recta para predecir la nota de un examen a partir de las horas de estudio es: nota pronosticada = 40 + 6 por horas. Si alguien estudia 5 horas, la predicción es 40 + 6 por 5 = 70. Si estudia 10 horas, 40 + 6 por 10 = 100. El intercepto (40) es la nota esperada de quien estudia cero horas; la pendiente (6) dice que cada hora extra suma 6 puntos.
3. Mínimos cuadrados: cómo se encuentra la recta
El método que encuentra esa recta única se llama método de mínimos cuadrados (Carl Friedrich Gauss y Adrien-Marie Legendre lo desarrollaron a principios del siglo XIX). La idea es elegante:
- Para cada punto de la nube, medir la distancia vertical entre el punto real y la recta candidata. Esa distancia es el residuo o error de predicción.
- Elevar cada residuo al cuadrado (para que los errores positivos y negativos no se cancelen).
- Sumar esos cuadrados.
- La recta ganadora es la que produce la suma mínima de cuadrados. De ahí el nombre.
4. Residuos: la predicción no es exacta
El residuo es la diferencia entre el valor real de Y y el valor pronosticado por la recta. Se escribe como: residuo = Y real menos Y pronosticado.
| Caso | Y real | Y pronosticado | Residuo | Lectura |
|---|---|---|---|---|
| Estudiante A | 82 | 70 | +12 | Sacó 12 puntos más de lo que la recta esperaba |
| Estudiante B | 65 | 70 | -5 | Sacó 5 puntos menos de lo esperado |
| Estudiante C | 70 | 70 | 0 | Acertó justo la predicción |
5. Regresión en psicología: ejemplos del mundano
La regresión se usa muchísimo en psicología para hacer predicciones con sentido práctico. Algunos ejemplos típicos que aparecen en manuales y en clases:
| Variable predictora (X) | Variable criterio (Y) | Para qué sirve |
|---|---|---|
| CI | Rendimiento académico | Predecir desempeño escolar y diseñar apoyos |
| Nivel de estresores | Nivel de ansiedad | Estimar riesgo de cuadros ansiosos |
| Horas de sueño | Atención sostenida | Predecir desempeño en tareas de concentración |
| Horas de estudio | Nota de examen | Modelo didáctico clásico |
| Edad | Tiempo de reacción | Predecir cambios cognitivos asociados a la edad |
- La ecuación de la recta: Y pronosticado = a + b por X. Saber qué es cada término.
- Qué es el intercepto (a) y qué es la pendiente (b). Interpretarlos en un enunciado.
- Qué hace el método de mínimos cuadrados: minimiza la suma de los residuos al cuadrado.
- Qué es un residuo y por qué puede ser positivo o negativo.
- Relación entre correlación y regresión: la regresión parte de la correlación pero además predice.
- Dar un ejemplo de aplicación en psicología (CI y rendimiento, estresores y ansiedad).
6. Mnemotecnia: la recta como "mejor adivinanza educada"
Para no olvidar el sentido de la regresión, conviene tener una frase ancla. La que funciona en examen es esta: la recta de regresión es la mejor adivinanza educada que se puede hacer sobre Y conociendo X. "Educada" porque no es opinión al azar: se calcula con un método matemático que usa los datos disponibles y minimiza los errores.
- Adivinanza: predice, no asegura.
- Educada: se basa en datos y en un método que reduce errores.
- Sobre Y conociendo X: predice el criterio a partir del predictor.
7. Integración: cómo se conecta todo el curso
La regresión no es un tema aislado. Es el punto donde convergen los conceptos que se vieron antes en el curso de estadística descriptiva. Para que se vea el mapa completo, vamos a recorrerlos en orden y a mostrar cómo cada uno alimenta al siguiente.
- Datos en bruto: una columna de números sin orden ni sentido aparente.
- Tablas de frecuencias: los mismos números ordenados y agrupados. Aquí aparece el concepto de frecuencia absoluta, relativa y acumulada.
- Gráficos: histograma, polígono de frecuencias, diagrama de barras. Lo que era una tabla ahora se ve.
- Tendencia central: media, mediana y moda. Resumen toda la columna en un solo número representativo.
- Dispersión: rango, desviación estándar, varianza. Cuánto se alejan los datos de la media.
- Posición: percentiles, cuartiles, puntuaciones z. Dónde se ubica un dato respecto al resto.
- Correlación y regresión: ahora no una, sino dos variables. La correlación mide el vínculo; la regresión lo usa para predecir.
Cada paso construye sobre el anterior. No se puede calcular una desviación estándar (paso 5) sin haber definido la media (paso 4). No se puede interpretar una puntuación z (paso 6) sin entender la desviación estándar (paso 5). Y no se puede calcular la pendiente de una recta de regresión (paso 7) sin haber pasado por la covarianza, que combina la dispersión de X y de Y.
| Concepto del curso | Qué resume | Cómo alimenta a la regresión |
|---|---|---|
| Tablas y gráficos | Forma de la distribución | Permiten ver si el vínculo entre X e Y parece lineal |
| Media | Centro de los datos | La recta pasa de forma consistente por el punto (media de X, media de Y) |
| Desviación estándar | Dispersión | Define la pendiente y la fuerza de la predicción |
| Puntuación z | Posición relativa | La correlación de Pearson es la media de los productos de z de X por z de Y |
| Correlación | Fuerza del vínculo lineal | Si r es cero, la regresión no predice nada útil |
8. Línea de tiempo
9. Errores frecuentes en el parcial
10. Para el parcial
- Ecuación de la recta: Y pronosticado = a + b por X. Definir cada símbolo.
- Qué minimiza el método de mínimos cuadrados: la suma de los residuos al cuadrado.
- Qué es un residuo: Y real menos Y pronosticado.
- Interpretar una pendiente en un enunciado ("por cada hora extra, la nota sube 6 puntos").
- Por qué la regresión integra el curso: resume y conecta los conceptos previos.
- Si r es cero, la regresión no predice: la recta es plana.
- Regresión = la recta que predice Y a partir de X. "Mejor adivinanza educada".
- Ecuación: Y pronosticado = a + b por X. a = arranque, b = balance.
- Mínimos cuadrados: minimiza la suma de residuos al cuadrado.
- Residuo = Y real menos Y pronosticado. Puede ser positivo, negativo o cero.
- No extrapolar fuera del rango observado.
- Integra el curso: datos, tablas, gráficos, media, dispersión, posición, correlación.
11. Preguntas de autoevaluación
1. ¿Qué significa decir que la recta de regresión es una "mejor adivinanza educada"?
Que la recta predice el valor de Y a partir de X usando un método matemático (mínimos cuadrados) que aprovecha los datos y minimiza los errores de predicción. No es una adivinanza al azar, pero tampoco una certeza: la predicción tiene un residuo.
2. En la ecuación Y pronosticado = 40 + 6 por X, ¿qué significan el 40 y el 6?
El 40 es el intercepto (a): la nota pronosticada para alguien que estudió cero horas. El 6 es la pendiente (b): por cada hora extra de estudio, la nota pronosticada sube 6 puntos.
3. ¿Qué hace el método de mínimos cuadrados?
Encuentra la recta que produce la suma más pequeña posible de los residuos elevados al cuadrado. Esa es la recta con el ajuste óptimo a la nube de puntos.
4. Si la correlación entre X e Y es cero, ¿qué forma tiene la recta de regresión?
Es una recta horizontal: la pendiente es cero. Conocer X no aporta ninguna información útil para predecir Y, de modo que la predicción es la media de Y, sin importar el valor de X.
5. Nombra los 7 pasos del curso de estadística descriptiva en orden.
1) Datos en bruto, 2) tablas de frecuencias, 3) gráficos, 4) tendencia central, 5) dispersión, 6) posición, 7) correlación y regresión.
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