Análisis factorial y reducción de datos

Acompaña este apunte con los hermanos de la misma unidad: Estadística descriptiva avanzada repasa correlaciones y supuestos previos; ANOVA factorial y de medidas repetidas trabaja modelos con efectos fijos sobre variables observadas; aquí se pasa al terreno de las variables latentes. El bloque Diseños experimentales y cuasiexperimentales ofrece el andamiaje metodológico donde luego se insertan estas técnicas.

1. Análisis factorial exploratorio (AFE)

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El análisis factorial exploratorio parte de una matriz de correlaciones entre p variables observadas y asume que tales correlaciones reflejan la influencia de un número menor de factores comunes no observados de forma directa, más un componente de error específico de cada ítem. El modelo clásico, conocido como modelo de factores comunes, expresa cada variable estandarizada como suma ponderada de k factores latentes más su unicidad. Esta formulación convierte un problema con muchas variables en uno con pocas dimensiones, sin perder de vista que se trata de una representación estadística, no de una causa física.

Antes de ejecutar el AFE conviene auditar la matriz de correlaciones. La prueba de esfericidad de Bartlett contrasta la hipótesis nula de que la matriz de correlación es igual a la matriz identidad: si se rechaza (con valor p bajo), hay covarianzas distintas de cero suficientes para justificar el análisis. El índice KMO de Kaiser-Meyer-Olkin compara los tamaños de los coeficientes de correlación observados con los tamaños de los coeficientes parciales; valores cercanos a 1 indican que la extracción factorial resulta adecuada, mientras que valores cercanos a 0 sugieren que el procedimiento no es apropiado. Por convención, se acepta KMO igual o mayor que 0.6 como piso razonable, aunque en investigación psicométrica se prefiere igual o mayor que 0.8.

Una vez verificada la factorabilidad de la matriz, el AFE estima las cargas factoriales: coeficientes que expresan cuánto satura cada variable en cada factor. La interpretación se apoya en inspección visual de la matriz de carga rotada, buscando agrupamientos de variables con pesos altos en un mismo factor y bajos en los demás. Un patrón simple, donde cada ítem carga alto en un solo factor, facilita la interpretación sustantiva; un patrón complejo, con cargas cruzadas, complica la asignación de significado y suele ser motivo para revisar la rotación o apartar el ítem.

El AFE trabaja sin hipótesis previa sobre cuántos factores subyacen ni qué variables los representan. Esa libertad exploratoria es su fortaleza y, al mismo tiempo, su fragilidad: muestras distintas pueden arrojar estructuras distintas. Por eso, en investigación aplicada, el AFE se concibe como una etapa exploratoria previa al análisis confirmatorio que se aborda más adelante en este apunte, dentro del marco Psicometría II.

2. Extracción y rotación de factores

La extracción consiste en estimar las cargas factoriales iniciales. Existen dos familias centrales. La extracción por componentes principales reexpresa las variables como combinaciones lineales que retienen la mayor varianza posible, sin imposición de estructura latente: por eso se la trata como técnica de reducción de datos y se aborda en la sección 4 de este apunte. La extracción por factores comunes, en cambio, asume el modelo generador latente y separa la varianza explicada por factores compartidos de la varianza de error (especificidad no compartida).

Dentro de la segunda familia conviven varios métodos. Ejes principales (o factor analysis iterativo) reemplaza la diagonal de la matriz de correlaciones por estimaciones iniciales de comunalidades y refina hasta convergencia. Máxima verosimilitud estima cargas bajo el supuesto de que los datos provienen de una distribución normal multivariada y permite evaluar el ajuste del modelo factorial con pruebas como el test chi-cuadrado del modelo. La elección del método no es trivial: ejes principales es robusto ante apartos de normalidad; máxima verosimilitud es más exigente, pero admite contrastes formales.

Una vez extraídas las cargas, se obtiene la comunalidad (h²) de cada variable: proporción de su varianza explicada por los k factores retenidos. Una comunalidad alta (igual o mayor que 0.5) señala que el ítem está bien representado por el modelo; una comunalidad baja, inferior a 0.3, indica que el ítem aporta poco a la estructura común y suele recomendarse revisarlo o apartarlo.

La rotación busca una solución más interpretable redistribuyendo la varianza factorial entre los ejes, sin alterar la varianza común total. Si la rotación es ortogonal, los factores se asumen independientes y los métodos clásicos son varimax (maximiza varianza de cargas al cuadrado dentro de cada factor) y quartimax (menos usado). Si la rotación es oblicua, los factores pueden correlacionarse, y los métodos habituales son oblimin (criterio delta) y promax (paso analítico seguido de rotación oblícua).

En psicología los constructos rara vez son estadísticamente independientes (ansiedad y depresión covarían, autoestima y autoeficacia covarían), de modo que la rotación oblicua tiende a reflejar con fidelidad la realidad de los datos. Aplicar varimax cuando la estructura es oblicua distorsiona los resultados y produce un patrón con menos discriminabilidad entre factores. Una decisión pragmática: si la correlación entre factores rotados oblicuamente supera 0.32, optar por esa solución.

Cuadro: extracción y rotación en pocas líneas

3. Criterios de retención de factores

Decidir cuántos factores retener es una de las decisiones más delicadas del AFE. Existen tres familias de criterios y la comunidad psicométrica recomienda reportar más de uno antes de zanjar el número final.

El criterio de Kaiser propone retener los factores con autovalor mayor que 1, asumiendo que un factor debe explicar al menos la varianza de una variable. Es el más extendido en software estadístico por defecto, pero tiene un sesgo conocido: tiende a sobre-retener cuando hay muchas variables, porque infla artificialmente los primeros autovalores. Usa Kaiser como piso orientativo, no como veredicto.

El scree plot de Cattell grafica los autovalores en orden descendente y pide retener los factores anteriores al codo, es decir, el punto donde la pendiente se aplana. La inspección es visual y depende del juicio del investigador; distintos analistas pueden discrepar. Por eso se complementa con métodos formales.

El análisis paralelo de Horn compara los autovalores observados con autovalores obtenidos en matrices de datos aleatorios del mismo tamaño. Solo se retienen factores cuyo autovalor real supere al percentil 95 de los autovalores aleatorios. Este criterio resulta el más recomendado en la literatura reciente porque controla el error Tipo I producto del azar, sobre todo con matrices grandes. En la práctica se ejecuta con permutaciones Monte Carlo y se reporta junto con Kaiser y scree, no en lugar de ellos.

También existen criterios basados en varianza acumulada: se retienen factores hasta explicar, por ejemplo, el 60 por ciento o 70 por ciento de la varianza total. Este criterio pierde rigor cuando hay muchas variables porque requiere demasiados factores para llegar al umbral, y cuando hay pocas puede cortar prematuramente.

Un heurístico complementario es la interpretabilidad sustantiva: si los factores retenidos admiten una interpretación teórica clara, reconocible en literatura previa, el número seleccionado tiene respaldo adicional. Si dos o tres factores son coherentes con la teoría pero el cuarto implica ítems dispersos, suele convenir quedarse con tres.

1. Calcula KMO y Bartlett como filtro previo a toda decisión de retención.
2. Estima autovalores con el método de extracción elegido.
3. Reporta Kaiser, scree plot y análisis paralelo de Horn.
4. Verifica interpretabilidad sustantiva de cada factor retenido.
5. Si hay conflicto entre criterios, el análisis paralelo suele inclinar la balanza.

4. Análisis de componentes principales (ACP)

El análisis de componentes principales comparte con el AFE la matriz de partida y la idea de reducir dimensiones, pero difiere en su objetivo y en su modelo. ACP busca combinaciones lineales de las variables originales, denominadas componentes principales, que retienen la mayor varianza posible en orden decreciente. El primer componente maximiza la varianza total, el segundo es ortogonal al primero y maximiza la varianza restante, y así sucesivamente.

En el modelo ACP no hay factores latentes ni varianza de error: se trata de una transformación geométrica del espacio de variables. Por eso se la concibe como técnica de reducción de datos, útil para construir índices, eliminar colinealidad previa a un modelo de regresión o visualizar observaciones en pocas dimensiones. El componente no explica covarianzas latentes: las absorbe en su construcción matemática.

Formalmente, el primer componente es el autovector asociado al mayor autovalor de la matriz de covarianzas (o de correlaciones, si se estandariza). Cada componente tiene una combinación de pesos sobre las variables y se interpreta observando qué variables tienen pesos altos en signo y magnitud. Componentes con pesos interpretables permiten resumir la matriz y comunicar patrones generales; componentes con pesos dispersos se vuelven artefactos numéricos sin sentido sustantivo.

La diferencia conceptual con el AFE suele ser materia de parcial. Resumela así: en ACP el componente maximiza varianza observada; en AFE el factor modela una causa latente común. Cuando se observa comunalidad baja en AFE o cargas débiles, el problema apunta al constructo; cuando un componente tiene pesos uniformes, el problema apunta a que la matriz no tiene estructura fuerte. Confundir ambas técnicas lleva a interpretar números que en realidad no hablan de constructos.

Criterios de retención aplicados a ACP pueden compartirse con AFE (autovalor mayor que 1, scree, varianza acumulada), pero sin la carga conceptual de modelar variables latentes. Si el objetivo es describir y resumir, ACP. Si el objetivo es proponer y medir constructos, AFE. En Estadística descriptiva avanzada se trabaja con procedimientos descriptivos previos a esta decisión; en ANOVA factorial y de medidas repetidas se contrastan medias sobre variables ya definidas.

5. Introducción al análisis factorial confirmatorio

El análisis factorial confirmatorio (AFC) pertenece a la familia de modelos de ecuaciones estructurales y se orienta a contrastar una estructura factorial propuesta a priori con los datos observados. Mientras que el AFE deja que los datos hablen sobre cuántos factores y qué variables cargan en cada uno, el AFC fija de antemano la cantidad de factores y la pertenencia de cada variable a su factor, estimando solo las cargas y los residuos.

El modelo se estima usualmente por máxima verosimilitud y produce índices de ajuste global que permiten decidir si la estructura especificada se reconcilia con la matriz de covarianzas observada. Los índices más citados son el chi-cuadrado del modelo, sensible al tamaño muestral; el Comparative Fit Index (CFI), que compara el modelo propuesto con un modelo nulo; y el Root Mean Square Error of Approximation (RMSEA), que evalúa el error aproximado de estimación por grado de libertad.

Por convención ampliamente citada en la literatura, valores de CFI cercanos o mayores que 0.95 y valores de RMSEA cercanos o menores que 0.06 se interpretan como ajuste aceptable. Estas cifras funcionan como convenciones, no como leyes físicas: cada campo disciplinar puede exigir criterios más laxos o más estrictos, y conviene citarlos como heurísticos sujetos a discusión metodológica. El presente apunte solo los introduce; el desarrollo formal del AFC corresponde a Psicometría II.

Una ventaja clara del AFC frente al AFE es la posibilidad de evaluar cargas cruzadas, covarianzas entre factores, errores correlacionados e invarianza de medición entre grupos. También admite contrastes entre modelos rivales (por ejemplo, estructura unidimensional contra estructura bidimensional de un mismo constructo) mediante pruebas de diferencia de chi-cuadrado, AIC y BIC.

Una limitación que conviene recordar para el parcial: el AFC exige teoría previa para especificar el modelo. Sin hipótesis clara sobre la estructura, conviene regresar al AFE y dejar que los datos exploren. De manera análoga a como los Diseños experimentales y cuasiexperimentales articulan lógica causal e instrumento, el AFC articula hipótesis teórica con ajuste empírico.

Autoevaluación 1 · Conceptos básicos.

¿Qué función cumple la prueba de esfericidad de Bartlett y qué indica el índice KMO? Describe el rol de cada uno como filtro previo al AFE.

Respuesta breve. Bartlett contrasta si la matriz de correlación se aparta de la identidad; KMO compara tamaños de correlación con tamaños de correlación parcial para evaluar si la estructura común permite extracción.

Autoevaluación 2 · Extracción y rotación.

¿En qué se diferencian componentes principales y factores comunes como métodos de extracción? ¿Cuándo conviene rotación oblicua frente a varimax?

Respuesta breve. Componentes maximizan varianza observada y sirven para reducir datos; factores comunes modelan una causa latente con varianza de error. Rotación oblicua cuando los constructos covarían; ortogonal solo si la teoría exige independencia entre dimensiones.

Autoevaluación 3 · Criterios de retención.

Compara Kaiser, scree plot y análisis paralelo de Horn como criterios para decidir cuántos factores retener. ¿Cuál suele inclinar la decisión en la práctica contemporánea?

Respuesta breve. Kaiser sobre-retiene con muchas variables; scree es visual y subjetivo; análisis paralelo de Horn compara con matrices aleatorias y controla el azar, por lo que se cita como el criterio más recomendado en la literatura reciente. La decisión se apoya en los tres y se confirma con interpretabilidad sustantiva.

Autoevaluación 4 · AFE, ACP y AFC.

¿Qué distingue al AFE del ACP y del AFC en cuanto a objetivo, modelo y supuestos? Indica un escenario donde cada técnica resulte la elección adecuada.

Respuesta breve. AFE modela constructos latentes sin estructura previa; ACP reduce dimensiones sin proponer causas; AFC confirma una estructura factorial hipotetizada con índices de ajuste. AFE para teoría nueva, ACP para resumir datos, AFC para validar instrumentos previos.