En una frase: Bayes actualiza creencias con datos nuevos.
1. La probabilidad condicional: P(A|B)
En probabilidad clásica, calculamos que tan probable es un evento aislado: la probabilidad de sacar una corona al lanzar una moneda es 0.5. Pero en la práctica clínica y de investigación rara vez trabajamos con eventos aislados: queremos saber la probabilidad de que un paciente tenga un trastorno dado que su test dio positivo.
Esta es la probabilidad condicional, que se escribe P(A|B) y se lee "probabilidad de A dado B". Formalmente:
P(A)
Probabilidad de A sin información adicional. Es lo que creíamos antes de saber nada.
P(A|B)
Probabilidad de A una vez que sabemos que B ocurrió. La información cambia la probabilidad.
Diferencia clave
Si P(A|B) es distinta de P(A), entonces B aporta información sobre A. Si son iguales, B es irrelevante para A.
2. Regla del producto e independencia
De la definición de probabilidad condicional se deduce la regla del producto:
Dos eventos son estadísticamente independientes cuando conocer uno no cambia la probabilidad del otro:
Independencia
Si P(A|B) = P(A), entonces A y B son independientes. Saber que ocurrió B no aporta nada sobre A.
Dependencia
Si P(A|B) es distinta de P(A), los eventos son dependientes. La información de B modifica la probabilidad de A.
En psicología, la independencia rara vez se da de forma exacta. Por ejemplo, la probabilidad de responder a un fármaco (evento A) depende de la dosis administrada (evento B): son eventos dependientes.
- Calcular P(A y B) con la regla del producto.
- Comparar P(A|B) con P(A): si coinciden, hay independencia.
- Si difieren, B aporta información relevante sobre A.
3. El teorema de Bayes
El teorema de Bayes, publicado póstumamente por Thomas Bayes en 1763 y generalizado por Pierre-Simon Laplace, resuelve una pregunta práctica: si conozco P(A|B), como calculo P(B|A)? Es decir, si se la probabilidad del síntoma dado la enfermedad, como obtengo la probabilidad de la enfermedad dado el síntoma?
El denominador P(A) es la probabilidad total de la evidencia, calculada con el teorema de probabilidad total:
P(A) = P(A|B) x P(B) + P(A|no B) x P(no B)
Es decir, la evidencia puede aparecer tanto si B es cierto como si no lo es, y hay que sumar ambas vías.
3.1. Diagrama de árbol para calcular Bayes
El diagrama de árbol descompone las probabilidades en ramas. Cada nivel del árbol representa una decisión o evento, y las probabilidades de cada rama son condicionales respecto al nodo del que nacen.
De los 225 tests positivos (90 + 135), solo 90 corresponden a personas que de verdad tienen el trastorno. La probabilidad a posteriori es 90/225 = 0.40, es decir, el 40 por ciento. Aunque el test tiene una sensibilidad del 90 por ciento, menos de la mitad de los positivos son verdaderos positivos.
4. Probabilidad a priori vs a posteriori
| Concepto | Notación | Que representa | Ejemplo clínico |
|---|---|---|---|
| Probabilidad a priori | P(B) | La creencia antes de observar la evidencia | Prevalencia del trastorno en la población: 10 por ciento |
| Verosimilitud | P(A|B) | Que tan compatible es la evidencia con la hipótesis | Probabilidad de test positivo si hay trastorno: 90 por ciento |
| Probabilidad a posteriori | P(B|A) | La creencia actualizada después de la evidencia | Probabilidad de trastorno dado test positivo: 40 por ciento |
| Evidencia marginal | P(A) | La probabilidad total de observar la evidencia | Probabilidad total de test positivo: 22.5 por ciento |
5. Aplicaciones en psicología: el diagnóstico
El teorema de Bayes es la base del razonamiento diagnóstico en psicología clínica. Cuando un psicólogo interpreta un test, esta haciendo inferencia bayesiana, lo sepa o no:
Sensibilidad
P(test positivo | hay trastorno). Probabilidad de que el test detecte el trastorno cuando existe.
Especificidad
P(test negativo | no hay trastorno). Probabilidad de que el test descarte correctamente.
Valor predictivo positivo
P(trastorno | test positivo). Lo que de verdad le interesa al clínico: dado el positivo, cuanto hay que preocuparse.
6. La falacia de la tasa base
La falacia de la tasa base consiste en ignorar la prevalencia del trastorno (la probabilidad a priori) al interpretar un resultado. Es el error cognitivo más frecuente en razonamiento probabilístico: las personas tienden a fijarse en la sensibilidad del test ("acierta el 90 por ciento") y olvidan que si la enfermedad es rara, los falsos positivos superan ampliamente a los verdaderos.
7. Linea de tiempo
a priori evidencia a posteriori
Primero tienes una creencia inicial (a priori). Llega un dato nuevo (evidencia). Bayes combina ambos y entrega una creencia actualizada (a posteriori). La nueva creencia a posteriori se puede usar como a priori del siguiente dato: es un proceso iterativo.
| Año | Autor | Aporte |
|---|---|---|
| 1763 | Thomas Bayes | Publicación póstuma del ensayo sobre probabilidad inversa |
| 1812 | Pierre-Simon Laplace | Generalización y formalización del teorema |
| 1933 | Andrei Kolmogorov | Axiomas de la probabilidad que fundamentan el calculo |
8. Para el parcial
- Definir probabilidad condicional y escribir su fórmula: P(A|B) = P(A y B) / P(B).
- Distinguir P(A|B) de P(B|A): por que no son equivalentes y como se relacionan vía Bayes.
- Plantear y resolver un problema de diagnóstico: calcular el valor predictivo positivo a partir de sensibilidad, especificidad y prevalencia.
- Explicar la falacia de la tasa base: por que un test con alta sensibilidad genera muchos falsos positivos cuando la prevalencia es baja.
- Reconocer la diferencia entre probabilidad a priori y a posteriori.
- P(A|B) = P(A y B) / P(B): probabilidad de A dado que ocurrió B.
- Independencia: si P(A|B) = P(A), los eventos son independientes.
- Bayes: P(B|A) = [P(A|B) x P(B)] / P(A). Invierte la condicional.
- A priori = creencia antes; a posteriori = creencia después de la evidencia.
- Falacia de la tasa base: la prevalencia importa tanto como la sensibilidad.
9. Preguntas de autoevaluación
1. Que significa P(A|B) = 0.30?
Que la probabilidad de que ocurra A, sabiendo que ya ocurrió B, es del 30 por ciento. El valor de B actualizo la probabilidad de A respecto a su valor a priori.
2. Dos eventos son independientes si...
Si P(A|B) = P(A). Conocer B no modifica la probabilidad de A. Equivalentemente, P(A y B) = P(A) x P(B): la regla del producto se simplifica a una multiplicación simple.
3. Un test tiene sensibilidad 95 por ciento y especificidad 90 por ciento. La prevalencia es 1 por ciento. Cual es el valor predictivo positivo?
Con una prevalencia del 1 por ciento, de cada 1000 personas hay 10 enfermas y 990 sanas. Verdaderos positivos: 10 x 0.95 = 9.5. Falsos positivos: 990 x 0.10 = 99. Total de positivos: 108.5. VPP = 9.5 / 108.5 = 8.8 por ciento. Apenas 1 de cada 11 positivos es verdadero.
4. Por que Bayes se llama "probabilidad inversa"?
Porque parte de P(A|B) (la dirección fácil: del trastorno al síntoma) y calcula P(B|A) (la dirección útil: del síntoma al trastorno). Invierte el orden de la condicional usando la regla del producto.
5. Cual es la diferencia entre verosimilitud y probabilidad a posteriori?
La verosimilitud P(A|B) mide que tan compatible es la evidencia A con la hipótesis B. La probabilidad a posteriori P(B|A) mide que tan probable es la hipótesis B después de observar la evidencia A. La verosimilitud es un insumo del teorema; la a posteriori es el resultado.
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Preguntas frecuentes
¿Qué es la probabilidad condicional y ejemplos?
Es la probabilidad de un suceso sabiendo que otro ya ocurrió: P(A|B) = P(A y B) / P(B). Ejemplo: la probabilidad de que un estudiante apruebe sabiendo que asistió a todas las clases.
¿Cómo explicar el teorema de Bayes?
Permite actualizar una probabilidad con nueva información: P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B). Parte de una probabilidad previa y la corrige según qué tan probable es la evidencia en cada caso.
¿Cómo se aplica el teorema de Bayes en medicina?
Para saber qué tan probable es una enfermedad cuando un test da positivo. Si la enfermedad es rara, incluso un test bastante preciso produce muchos falsos positivos: el resultado depende de la sensibilidad, la especificidad y la prevalencia.