En una frase: media, mediana y moda coinciden si la distribución es simétrica; se separan cuando hay sesgo.
1. Las tres medidas, una por una
1.1. La media aritmética
Es la suma de los datos dividida entre el número de datos. La conoces desde la escuela: sumar y repartir en partes iguales.
La media tiene una virtud: usa todos los datos. Pero también tiene un defecto letal:
La media se puede calcular solo con datos de intervalo o razón. Con variables nominales u ordinales no tiene sentido matemático (no puedes sumar categorías).
1.2. La mediana
La mediana es el valor que ocupa el centro cuando ordenas los datos de menor a mayor. La mitad de los datos queda por debajo y la otra mitad por encima.
- Si el número de datos es impar: la mediana es el valor que queda justo en el medio. Con los datos 3, 5, 7, 9, 11, la mediana es 7 (el tercer dato de cinco).
- Si el número de datos es par: la mediana es el promedio de los dos valores centrales. Con los datos 3, 5, 7, 9, tomas el segundo y el tercero, los sumas (5 + 7) y los divides entre 2. La mediana es 6.
1.3. La moda
La moda es el valor que se repite con mayor frecuencia. Es la única de las tres que se puede calcular con cualquier nivel de medición, incluida la nominal.
- Una sola moda: la distribución tiene un pico claro.
- Bimodal: dos valores comparten la frecuencia mayor. Sugiere dos grupos mezclados.
- Multimodal: tres o más modas.
- Sin moda: cada valor aparece la misma cantidad de veces.
2. La regla de oro: cuándo usar cada una
La elección no es opcional ni de gusto. Depende del nivel de medición de la variable:
| Nivel de medición | Moda | Mediana | Media |
|---|---|---|---|
| Nominal | Si | No | No |
| Ordinal | Si | Si | No (con precaución) |
| Intervalo | Si | Si | Si |
| Razón | Si | Si | Si |
3. Cómo se relacionan según la forma de la distribución
Esta es la parte que más cae en los parciales. Cuando la distribución es simétrica, las tres medidas coinciden. Cuando hay asimetría, se separan en un orden predecible.
3.1. Distribución simétrica
La curva es un espejo a ambos lados. La media, la mediana y la moda caen en el mismo punto. Es el caso de la curva normal.
3.2. Asimetría positiva (sesgo a la derecha)
La cola larga se va hacia la derecha, hacia los valores altos. Esos valores altos arrastran la media hacia arriba. La moda queda atrás; la mediana, en medio.
3.3. Asimetría negativa (sesgo a la izquierda)
La cola larga se va hacia la izquierda, hacia los valores bajos. La media cae arrastrada hacia abajo.
- Simétrica: media, mediana y moda coinciden en el mismo punto.
- Sesgo positivo: moda queda a la izquierda, mediana en el medio, media a la derecha (la más alta).
- Sesgo negativo: media queda a la izquierda (la más baja), mediana en el medio, moda a la derecha.
4. Mnemotecnia: cómo acordarse del orden
5. Dos variantes que conviene conocer
5.1. Media ponderada
Cuando los datos tienen pesos distintos (por ejemplo, notas de materias con créditos diferentes), se calcula una media ponderada: cada valor se multiplica por su peso, se suman los productos y se dividen entre la suma de los pesos.
5.2. Media recortada
La media recortada es una solución de compromiso entre la media y la mediana. Se elimina un porcentaje de los datos de cada extremo (por ejemplo, el 10% superior y el 10% inferior) y se calcula la media del resto. Tukey (1977) la popularizó como herramienta del análisis exploratorio de datos. Es útil cuando hay valores atípicos pero no quieres renunciar a las propiedades de la media.
6. Resumen comparativo
| Característica | Media | Mediana | Moda |
|---|---|---|---|
| Usa todos los datos | Si | No | No |
| Resistente a atípicos | No | Si | Si |
| Nivel nominal | No | No | Si |
| Nivel ordinal | No | Si | Si |
| Nivel intervalo o razón | Si | Si | Si |
| Simétrica: dónde cae | Centro | Centro | Centro |
| Sesgo positivo | Se va a la derecha | En el medio | Izquierda del centro |
7. Para el parcial
- Definir media, mediana y moda y calcular cada una con un conjunto pequeño de datos.
- Por qué la media es sensible a los valores atípicos y la mediana no.
- Qué medida corresponde a cada nivel de medición (nominal, ordinal, intervalo, razón).
- El orden de las tres medidas en asimetría positiva y en asimetría negativa.
- En qué consiste la media recortada y para qué sirve.
- Media: suma y reparte. Frágil ante atípicos. Pide intervalo o razón.
- Mediana: el del medio. Resistente. Pide ordinal o superior.
- Moda: el más frecuente. Sirve para cualquier nivel.
- Simétrica: las tres coinciden.
- Sesgo positivo: Moda, Mediana, Media (de izquierda a derecha).
- Sesgo negativo: se invierte el orden.
media = frágil mediana = resistente moda = cualquiera sesgo positivo: M-M-M
8. Preguntas de autoevaluación
1. Tienes los datos 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 8. Calcula la media, la mediana y la moda.
Media: (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 8) dividido entre 8, que da 4,875. Mediana: con ocho datos (par), tomas el cuarto y el quinto (4 y 5), los sumas y divides entre 2: mediana = 4,5. Moda: el 4, porque se repite tres veces, más que cualquier otro valor.
2. ¿Por qué la mediana es más resistente que la media ante los valores atípicos?
Porque la mediana solo cuenta cuántos datos hay a cada lado del centro; no importa cuánto valgan los extremos. La media, en cambio, suma todos los valores, de modo que un solo dato muy grande o muy pequeño la arrastra hacia ese extremo.
3. En una distribución con sesgo positivo, ¿qué orden siguen media, mediana y moda?
Moda (la más baja), mediana (en el medio) y media (la más alta, arrastrada por la cola derecha). Es decir, media mayor que mediana y mediana mayor que moda.
4. ¿Puedes calcular la media de una variable nominal como "tipo de trastorno" (ansiedad, depresión, fobia)?
No. La media requiere que los valores sean numéricos y que las distancias entre ellos tengan sentido. Las categorías nominales son etiquetas sin cantidad; sumarlas o promediarlas carece de significado. Para variables nominales se usa la moda.
5. ¿Qué es la media recortada y en qué se diferencia de la media aritmética?
La media recortada elimina un porcentaje de los datos de cada extremo (por ejemplo, el 10% superior y el 10% inferior) antes de calcular la media. Es menos sensible a los valores atípicos que la media aritmética, pero usa más información que la mediana. Es un punto intermedio entre ambas.
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