En una frase: dispersión es cuánto se alejan los datos del centro.
1. El rango: el dispersor más simple (y más frágil)
El rango es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor. Si en un examen de atención las puntuaciones van de 12 a 28, el rango es 28 menos 12, o sea 16. Es la medida de dispersión más fácil de calcular y la primera que uno aprende, pero también la que más se equivoca cuando hay valores extremos.
R = Mayor - Menor
2. Rango intercuartílico (RIC): el rango que ignora los extremos
Tukey propuso dividir los datos ordenados en cuatro partes iguales (cuartiles). El primer cuartil (Q1) deja por debajo al 25 por ciento de los datos. El tercer cuartil (Q3) deja por debajo al 75 por ciento. El rango intercuartílico es Q3 menos Q1, y mide la dispersión del 50 por ciento central de los datos, el corazón de la distribución, sin que los valores extremos lo distorsionen.
RIC = Q3 - Q1Resistente a outliers
3. La varianza: dispersión al cuadrado
La varianza cuantifica cuánto se alejan los datos de la media, pero con un giro: eleva cada desviación al cuadrado antes de sumar. ¿Por qué al cuadrado? Porque si restas la media a cada dato y sumas sin más, las desviaciones positivas y negativas se cancelan y el resultado es cero. Elevar al cuadrado vuelve positiva cada desviación y, de paso, penaliza más a las que se alejan mucho.
Hay dos versiones de la varianza. La poblacional divide la suma de los cuadrados entre N (el total de la población). La muestral divide entre n-1 (el total de la muestra menos uno). Fisher demostró que dividir entre n-1 produce una estimación insesgada de la varianza poblacional: es decir, en promedio no se queda corta ni se pasa. Ese menos uno es lo que en estadística se llama corrección de Bessel.
La fórmula de la varianza muestral, descrita en texto: suma de cada dato menos la media, elevado al cuadrado, dividida entre n menos uno.
RestaEleva al cuadradoSumaDivide entre n-1
4. La desviación estándar: volver a la unidad original
La varianza tiene un problema práctico: al elevar las desviaciones al cuadrado, sus unidades también se elevan al cuadrado. Si los datos están en puntos de CI, la varianza queda en "puntos de CI al cuadrado", que no tiene sentido interpretativo. La solución de Pearson: sacar la raíz cuadrada de la varianza. El resultado es la desviación estándar, que vuelve a estar en la misma unidad que los datos originales.
DE = raíz de la varianzaMisma unidad que los datos
5. Coeficiente de variación: comparar manzanas con peras
El coeficiente de variación (CV) resuelve un problema que la desviación estándar no puede: ¿cómo comparas la dispersión de dos grupos que se miden en unidades distintas? La desviación estándar de un tiempo de reacción medido en milisegundos da un número grande (digamos 45). La desviación estándar de una puntuación de inteligencia da un número parecido (digamos 15). ¿Significa que el tiempo de reacción es más disperso? No, porque están en escalas distintas. El CV resuelve esto dividiendo la desviación estándar entre la media y multiplicando por 100 para expresarlo como porcentaje.
La fórmula en texto: CV = desviación estándar dividida entre la media, multiplicada por 100.
| Concepto | Fórmula (en texto) | ¿Para qué sirve? |
|---|---|---|
| Rango | Mayor menos menor | Dispersión bruta, rápida |
| Rango intercuartílico | Q3 menos Q1 | Dispersión resistente a outliers |
| Varianza | Suma de desviaciones al cuadrado dividida entre n-1 | Base matemática, sin unidad interpretable |
| Desviación estándar | Raíz cuadrada de la varianza | Dispersión en la unidad original de los datos |
| Coeficiente de variación | Desviación estándar entre media, por 100 | Comparar dispersión entre grupos con escalas distintas |
CV = (DE / media) x 100Comparar entre escalas
6. Cuándo usar cada medida
- Rango: cuando necesitas un número rápido y los datos no tienen outliers extremos.
- RIC: cuando hay valores atípicos que distorsionarian el rango o cuando la distribución es asimétrica.
- Varianza: rara vez se reporta sola (su unidad no se interpreta), pero es la base de cálculos como el análisis de varianza (ANOVA).
- Desviación estándar: la medida más reportada en artículos de psicología, junto con la media. Sirve cuando los datos son aproximadamente simétricos.
- Coeficiente de variación: cuando comparas la dispersión de dos o más grupos medidos en escalas distintas (p. ej., milisegundos vs. puntos de CI).
7. Relación con la curva normal
Gauss describió la distribución normal como una campana simétrica donde la media, la mediana y la moda coinciden. En esta curva, la desviación estándar tiene una propiedad especial: marca distancias predecibles desde la media. Aproximadamente el 68 por ciento de los datos caen entre la media menos una desviación y la media más una desviación. El 95 por ciento caen entre la media menos dos desviaciones y la media más dos desviaciones. Y el 99,7 por ciento caen entre la media menos tres desviaciones y la media más tres desviaciones.
Esta relación (conocida como regla 68-95-99,7) solo aplica cuando los datos siguen una distribución aproximadamente normal. Si la distribución es muy asimétrica, estas proporciones no se cumplen y conviene usar el rango intercuartílico.
- Rango: mayor menos menor. Rapido pero frágil ante outliers.
- RIC: Q3 menos Q1. Resistente, observa el 50 por ciento central.
- Varianza: desviaciones al cuadrado divididas entre n-1. Sin unidad interpretable.
- Desviación estándar: raíz de la varianza. Misma unidad que los datos.
- CV: desviación entre media por 100. Para comparar escalas distintas.
- Curva normal: 68 por ciento en más/menos 1 desviación, 95 por ciento en más/menos 2, 99,7 por ciento en más/menos 3.
8. Para el parcial
- Diferencia entre varianza muestral (n-1) y poblacional (N) y por qué se resta uno (corrección de Bessel, estimación insesgada de Fisher).
- Qué medida de dispersión usas con datos asimétricos o con outliers: el RIC, no la desviación estándar.
- Qué hace el coeficiente de variación y cuándo se necesita: comparar dispersión entre grupos con escalas distintas.
- La regla 68-95-99,7 de la curva normal y qué porcentaje cae en más/menos 1, 2 y 3 desviaciones.
- Por qué la desviación estándar está en la misma unidad que los datos (porque es la raíz de la varianza).
9. Preguntas de autoevaluación
1. Si tienes una muestra de 25 estudiantes y quieres estimar la varianza de la población, ¿entre qué número divides la suma de los cuadrados?
Entre 24 (n-1). Es la corrección de Bessel que Fisher propuso para que la estimación muestral no quede sesgada respecto a la varianza poblacional. Con N (25) obtendrías la varianza muestral sesgada.
2. ¿Qué medida de dispersión es resistente a los valores atípicos y por qué?
El rango intercuartílico (RIC = Q3 - Q1). Solo observa el 50 por ciento central de los datos, así que los valores extremos en las colas no lo afectan. El rango, en cambio, se ve distorsionado por un solo dato atípico porque lo incluye en su cálculo.
3. Dos grupos tienen desviación estándar 15 y 3 respectivamente. ¿Puedes afirmar que el primero es más disperso?
No sin conocer las medias. Si la media del primer grupo es 100 y la del segundo es 6, el coeficiente de variación del primero es 15 por ciento y el del segundo es 50 por ciento. El segundo grupo, a pesar de tener una desviación estándar menor, es relativamente más disperso en proporción a su media.
4. ¿Por qué se elevan al cuadrado las desviaciones al calcular la varianza?
Por dos razones: primero, si las desviaciones (dato menos media) se suman sin elevar, las positivas y negativas se cancelan y el resultado es cero. Segundo, elevar al cuadrado penaliza más las desviaciones grandes: un dato que se aleja 4 unidades de la media contribuye con 16 a la suma, no con 4.
5. En una distribución normal, ¿qué porcentaje de datos cae fuera de más/menos dos desviaciones estándar de la media?
El 95 por ciento cae dentro de más/menos dos desviaciones. Por lo tanto, el 5 por ciento cae fuera de ese rango (2,5 por ciento en cada cola).
6. ¿Cuál es la diferencia práctica entre reportar la varianza y reportar la desviación estándar?
La varianza está en unidades al cuadrado (p. ej., "puntos de CI al cuadrado"), que no tienen significado interpretativo directo. La desviación estándar, al ser la raíz de la varianza, vuelve a la unidad original (puntos de CI), lo que permite interpretarla como la cantidad típica de desviación respecto a la media.
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