Estimación por intervalos de confianza

Tesis del tema: En lugar de adivinar un único valor para un parámetro poblacional, la estimación por intervalos de confianza construye un rango que, con un cierto nivel de confianza (90, 95 o 99 por ciento), contiene al parámetro. La clave: el nivel de confianza no es la probabilidad de que el parámetro esté en ese intervalo particular, sino la proporción de intervalos construidos así que contendrán al parámetro.

En una frase: lanzamos una red con cierta apertura y cierta confianza de atrapar al parámetro.

1. Estimación puntual versus por intervalos

Hay dos maneras de estimar un parámetro poblacional a partir de una muestra. Una es apurada y arriesgada; la otra es la que de verdad se usa en investigación.

Estimación puntual: un solo número. "La media de ansiedad en la muestra fue 42 puntos, así que estimo que la media poblacional es 42". Es lo más directo, pero tiene un problema grave: rara vez atina al valor exacto. Si sacaras otra muestra, te daría otro número.
Estimación por intervalos: un rango. "Estimo que la media poblacional de ansiedad está entre 38 y 46 puntos, con 95 por ciento de confianza". Mucho más útil, porque admite la incertidumbre y la cuantifica.

Analogía útil: imagina que tienes que adivinar la altura del profesor. La estimación puntual es decir "1,76 m". La estimación por intervalos es decir "entre 1,72 y 1,80 m". La segunda es mucho más robusta: acota una región, no apuesta a un solo número.

Definición clave: El intervalo de confianza es un rango de valores, calculado a partir de una muestra, que con un nivel de confianza especificado (típicamente 90, 95 o 99 por ciento) contendrá al parámetro poblacional en esa proporción de las muestras posibles.

2. La fórmula que hay que entender, no solo memorizar

Para construir un intervalo de confianza para la media poblacional, cuando el tamano de muestra es suficiente o se conoce la desviación estándar poblacional, se usa:

Límite inferior = media muestral menos z por error estándar

Límite superior = media muestral más z por error estándar

Donde z depende del nivel de confianza (1,645 para 90 por ciento, 1,96 para 95 por ciento, 2,576 para 99 por ciento) y el error estándar es sigma dividido entre raíz de n.

El trozo "z por error estándar" es tan importante que tiene nombre propio: es el margen de error. El intervalo es simplemente la media muestral, más y menos el margen de error.

Truco de memoria — la fórmula en cuatro pedazos:
x-barra: el centroz: la confianzasigma/raíz(n): el error estándarmargen = z por error estándar

2.1. De dónde salen esos valores de z

El z depende del nivel de confianza. La idea es: queremos cubrir el porcentaje central de la campana normal. Si elegimos 95 por ciento de confianza, dejamos 2,5 por ciento a cada cola, y el z que corta ahí es 1,96.

Nivel de confianza	z (aproximado)	Qué deja en cada cola
90 por ciento	1,645	5 por ciento
95 por ciento	1,96	2,5 por ciento
99 por ciento	2,576	0,5 por ciento

3. La trampa de interpretación más clásica del tema

Trampa de parcial: decir "hay 95 por ciento de probabilidad de que el parámetro esté en este intervalo particular". Eso es incorrecto. El parámetro es fijo: está o no está. Lo correcto es: "de cada 100 intervalos construidos con este método, 95 contendrán al parámetro". Este intervalo particular puede ser uno de los afortunados, o no.

Esta es la diferencia que más confunde y la que más se pregunta en parciales. Repetimos la frase correcta hasta que quede:

Interpretación correcta: el 95 por ciento de los intervalos construidos así contendrán al parámetro. No: "el parámetro tiene 95 por ciento de probabilidad de estar en este intervalo particular".

Analogía útil — el intervalo como una red de pesca: el parámetro es un pez fijo en el agua. Lanzamos muchas redes (muchos intervalos) del mismo tamano y con la misma técnica. En el 95 por ciento de los lances, la red atrapa al pez. Esta red particular, que construimos con nuestra muestra, no sabemos si lo atrapó; lo que sabemos es que nuestra técnica de lanzar redes atrapa el 95 por ciento de las veces.

4. Cómo juegan entre sí los tres ingredientes

El intervalo tiene tres variables que se relacionan entre sí: el nivel de confianza, el tamano de muestra y la amplitud del intervalo. Entender estas relaciones es lo que de verdad te piden en el parcial.

Si subo...	Qué pasa con el intervalo	Por qué
Nivel de confianza	Se ensancha (más margen de error)	Necesito un z más grande (2,576 vs 1,96) para atrapar más casos.
Tamano de muestra n	Se estrecha (menos margen de error)	El error estándar (sigma / raíz de n) se reduce al crecer n.
Desviación poblacional sigma	Se ensancha	Mayor variabilidad poblacional, mayor error estándar.

Truco de memoria — la balanza del intervalo: subir confianza abre el intervalo; subir n lo cierra. Hay un tira y afloja: más confianza cuesta en amplitud, y solo se compensa con más muestra.
confianza alta = intervalo anchon grande = intervalo estrecho

5. Ejemplo: promedio de ansiedad en una muestra

Supongamos una muestra de 64 estudiantes a quienes se les aplica una escala de ansiedad. La media muestral es 42 puntos, la desviación estándar poblacional es 12. Queremos un intervalo de 95 por ciento de confianza para la media poblacional.

Calcular el error estándar: sigma / raíz(n) = 12 / 8 = 1,5.
Para 95 por ciento de confianza, z = 1,96.
Margen de error = 1,96 por 1,5 = 2,94.
Límite inferior = 42 menos 2,94 = 39,06.
Límite superior = 42 más 2,94 = 44,94.

Interpretación: el intervalo va de 39,06 a 44,94. Decimos: el 95 por ciento de los intervalos construidos así contendrán la verdadera media poblacional de ansiedad. No: "la media poblacional tiene 95 por ciento de probabilidad de estar entre 39,06 y 44,94".

6. Intervalos para diferencia de medias

Cuando comparamos dos grupos (por ejemplo, ansiedad en hombres versus mujeres), construimos un intervalo para la diferencia de medias poblacionales:

Intervalo = (media1 menos media2) más o menos z por el error estándar de la diferencia.

El error estándar de la diferencia combina las dos varianzas: raíz de (sigma1 cuadrado entre n1 más sigma2 cuadrado entre n2).

Si el intervalo no incluye el cero, hay evidencia de que las medias difieren al nivel de confianza elegido. Si incluye el cero, no podemos descartar que sean iguales.

7. Errores frecuentes en el parcial

1. Interpretación probabilística incorrecta. Decir "el parámetro tiene 95 por ciento de probabilidad de estar aquí". El parámetro es fijo. Lo correcto: el 95 por ciento de los intervalos construidos así lo contienen.

2. Confundir nivel de confianza con nivel de significación. El nivel de confianza (95 por ciento) y el nivel de significación (5 por ciento) se complementan a 100, pero son conceptos distintos que aparecen en temas distintos.

3. Olvidar que n está dentro de una raíz. Para reducir el margen de error a la mitad, no basta con duplicar n: hace falta cuadruplicar el tamano de muestra. Es por la raíz cuadrada de la fórmula del error estándar.

8. Para el parcial

Lo que con probabilidad te van a preguntar:

Diferencia entre estimación puntual y por intervalos.
Fórmula del intervalo: media muestral más o menos z por error estándar.
Valores de z para 90, 95 y 99 por ciento (1,645 / 1,96 / 2,576).
Interpretación correcta del intervalo (la trampa clásica).
Qué pasa con la amplitud del intervalo al subir el nivel de confianza o al aumentar n.
Cómo se construye un intervalo para la diferencia de dos medias.

Repaso en 30 segundos:

Intervalo = media muestral más o menos z por error estándar.
Margen de error = z por (sigma / raíz de n).
Interpretación: 95 de cada 100 intervalos así construidos contienen al parámetro.
Subir confianza: intervalo más ancho. Subir n: intervalo más estrecho.
Para diferencia de medias: si el intervalo no cruza el cero, hay diferencia.

9. Preguntas de autoevaluación

1. ¿Qué diferencia hay entre estimación puntual y por intervalos?

La puntual da un solo valor (la media muestral) y rara vez acierta. La por intervalos da un rango que, con un nivel de confianza, contiene al parámetro en esa proporción de las muestras.

2. Escribe la fórmula del intervalo de confianza para la media.

media muestral más o menos z por error estándar, donde error estándar = sigma / raíz de n. El valor de z depende del nivel de confianza (1,96 para 95 por ciento, por ejemplo).

3. ¿Cuál es la interpretación correcta de un intervalo de confianza al 95 por ciento?

El 95 por ciento de los intervalos construidos con ese método contendrán al parámetro poblacional. No es que el parámetro tenga 95 por ciento de probabilidad de estar en un intervalo particular.

4. Si quiero un intervalo más estrecho, ¿qué puedo hacer?

Aumentar el tamano de muestra (lo que reduce el error estándar) o aceptar un nivel de confianza menor (lo que reduce el valor de z). Hay un compromiso entre amplitud y confianza.

5. En el ejemplo (n = 64, media = 42, sigma = 12, 95 por ciento), ¿cuál es el intervalo?

Error estándar = 1,5; margen de error = 2,94; intervalo = 39,06 a 44,94.

Estudia esta materia jugando en la Escuela PsiqueAcadémica — la sesión 1 es gratis. O comprueba lo que sabes en la Arena de preguntas.

🎮 12 experiencias — ¿prefieres practicarlo jugando? Psique Juegos — aprende jugando →

Ponlo en práctica

Test de conocimiento: Procesos Psicológicos

Pon a prueba lo que sabes de este tema: 12 preguntas reales, tu nivel al final y los temas exactos a reforzar.

Test de conocimiento: Procesos Psicológicos — empezar