En una frase: ordena los datos, mira su forma, después calcula.
1. Que es una distribución de frecuencias
Una distribución de frecuencias es una tabla (o su representación gráfica) que muestra cuantas veces aparece cada valor, o cada intervalo de valores, en un conjunto de datos. Su función es sencilla y poderosa: hacer visible la dispersión y la concentración de las puntuaciones.
Por ejemplo, si aplicas un test a 30 personas y obtienes 30 puntuaciones sueltas, tienes una lista poco legible. Si las agrupas y cuentas cuantas cayeron en cada rango, de repente ves donde se concentra la mayoría, si hay valores extremos, y si la forma se aproxima a la campana de Gauss o se desvía de ella.
1.1. Tipos de frecuencias en la tabla
La tabla de frecuencias clásica no se queda con el simple conteo. Incluye cuatro columnas que se construyen una a partir de la anterior:
- Frecuencia absoluta (fi): cuantas veces aparece cada valor o intervalo.
- Frecuencia absoluta acumulada (Fi): suma de las frecuencias absolutas hasta ese valor o intervalo. Indica cuantos casos hay por debajo de ese punto.
- Frecuencia relativa (hi): la frecuencia absoluta dividida entre el total de datos (fi / N). Se suele expresar en porcentaje.
- Frecuencia relativa acumulada (Hi): suma de las frecuencias relativas hasta ese valor o intervalo. Indica que proporción del total queda por debajo de ese punto.
| Columna | Símbolo | Que responde |
|---|---|---|
| Frecuencia absoluta | fi | Cuantos casos hay en este valor o intervalo? |
| Frecuencia absoluta acumulada | Fi | Cuantos casos hay hasta aquí? |
| Frecuencia relativa | hi | Que proporción del total representa? |
| Frecuencia relativa acumulada | Hi | Que proporción del total hay hasta aquí? |
1.2. Ejemplo: puntuaciones de un test en 20 personas
Supongamos que aplicas un test de atención a 20 personas y obtienes estas puntuaciones directas: 12, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 20. La tabla de frecuencias (sin agrupar, porque hay pocos valores distintos) seria así:
| Puntuación (xi) | fi | Fi | hi | Hi |
|---|---|---|---|---|
| 12 | 1 | 1 | 0.05 | 0.05 |
| 14 | 2 | 3 | 0.10 | 0.15 |
| 15 | 3 | 6 | 0.15 | 0.30 |
| 16 | 4 | 10 | 0.20 | 0.50 |
| 17 | 5 | 15 | 0.25 | 0.75 |
| 18 | 3 | 18 | 0.15 | 0.90 |
| 19 | 1 | 19 | 0.05 | 0.95 |
| 20 | 1 | 20 | 0.05 | 1.00 |
Observa dos cosas: la columna Fi termina en 20 (el total de datos), y la columna Hi termina en 1.00 (el 100% de los casos). Esas son dos comprobaciones rápidas de que la tabla esta bien construida.
fiFihiHi
2. Agrupación de datos en intervalos
Cuando hay muchas puntuaciones distintas (o cuando la variable es continua), la tabla sin agrupar se vuelve ilegible. En ese caso se agrupan los datos en intervalos de clase: rangos de valores que se tratan como una sola fila de la tabla.
2.1. Cuantos intervalos conviene? La regla de Sturges
Herbert Sturges (1926) propuso una formula empirica para estimar cuantos intervalos usar en funcion del numero de datos. La idea es que con pocos datos basta con pocos intervalos, y que a medida que crece la muestra, conviene afinar con mas intervalos.
Donde N es el número total de datos y log10 es el logaritmo en base 10. Para N = 30, la regla da unos 5 o 6 intervalos. Para N = 100, da unos 7 u 8. Para N = 1000, unos 10. Es una guía, no una ley: se puede redondear y ajustar según la legibilidad.
2.2. Amplitud del intervalo
Una vez decidido el número de intervalos (k), se calcula la amplitud (A) de cada uno:
Si el resultado no es entero, se redondea al alza para que los intervalos cubran el rango completo. Lo habitual es que cada intervalo tenga la misma amplitud, para que la tabla y el gráfico sean comparables.
2.3. Marca de clase
El marca de clase (xi) es el punto central de cada intervalo. Se calcula sumando los limites inferior y superior del intervalo y dividiendo entre dos. La marca de clase representa al intervalo entero cuando hay que calcular medias, varianzas u otros estadísticos a partir de datos agrupados.
2.4. Pasos para construir una tabla de frecuencias agrupada
- Identificar el rango: valor máximo menos valor mínimo.
- Aplicar Sturges: calcular k = 1 + 3.322 * log10(N).
- Calcular la amplitud: A = rango / k (redondear al alza si hace falta).
- Definir los intervalos: desde el valor mínimo, ir sumando A hasta cubrir el máximo.
- Calcular la marca de clase de cada intervalo.
- Contar las frecuencias (fi) de cada intervalo.
- Construir Fi, hi y Hi como en la tabla simple.
- Verificar: que la última Fi sea igual a N y la última Hi sea 1.00.
3. Representaciones gráficas
La tabla organiza los datos; el gráfico los hace hablar. Hay tres representaciones clásicas de una distribución de frecuencias, cada una con su propósito.
3.1. Histograma
El histograma es un gráfico de barras contiguas (sin espacio entre ellas) donde cada barra representa un intervalo y su altura corresponde a la frecuencia. Es la representación mas habitual de una distribución agrupada.
Observa como las barras dibujan ya la forma de la distribución: en este caso, una campana simétrica centrada en el intervalo 16-17.
3.2. Polígono de frecuencias
El polígono de frecuencias se construye uniendo con lineas los puntos medios (marcas de clase) de cada intervalo, a la altura de su frecuencia. Suele cerrarse conectando los extremos con el eje horizontal. Es útil para comparar dos distribuciones en el mismo gráfico, porque las lineas se superponen con facilidad sobre las barras.
3.3. Ojiva
La ojiva (o polígono de frecuencias acumuladas) representa la frecuencia acumulada (Fi o Hi) en el eje vertical. Su forma es creciente de izquierda a derecha, porque cada punto suma los casos anteriores. La ojiva permite leer rápidamente percentiles y medianas: basta con buscar el valor 50% en el eje vertical y proyectar sobre la curva.
| Gráfico | Que muestra | Cuando usarlo |
|---|---|---|
| Histograma | Frecuencia por intervalo | Para ver la forma de la distribución |
| Polígono de frecuencias | Tendencia de la frecuencia | Para comparar varias distribuciones |
| Ojiva | Frecuencia acumulada | Para leer percentiles y medianas |
4. Formas de la distribución: sesgo
Una vez dibujada la distribución, su forma ya cuenta cosas. La primera característica que conviene observar es la simetría: la distribución es simétrica cuando las dos mitades (a izquierda y derecha del centro) son espejo una de la otra. Cuando no lo son, la distribución esta sesgada.
4.1. Distribución normal (simétrica)
La distribución normal tiene forma de campana: la mayoría de casos se concentran en el centro y la frecuencia decrece hacia los extremos de forma simétrica. En psicología, muchas variables (puntuaciones de CI, tiempos de reacción promediados) se aproximan a esta forma cuando la muestra es grande. En una distribución normal, media, mediana y moda coinciden en el mismo punto.
4.2. Sesgo positivo (a la derecha)
La distribución tiene sesgo positivo cuando la cola mas larga se extiende hacia la derecha (hacia los valores altos). La mayoría de casos se agrupan en los valores bajos, y hay pocos casos con valores muy altos que "estiran" la distribución. En este caso, la media es mayor que la mediana, y la mediana mayor que la moda.
| Tipo de sesgo | Cola larga hacia | Orden de medidas | Ejemplo psicológico |
|---|---|---|---|
| Sin sesgo (normal) | Simétrica | Media = Mediana = Moda | CI en muestra grande |
| Sesgo positivo | Derecha (valores altos) | Media mayor que Mediana mayor que Moda | Tiempos de reacción en tarea difícil |
| Sesgo negativo | Izquierda (valores bajos) | Media menor que Mediana menor que Moda | Puntuaciones en test muy fácil |
4.3. Sesgo negativo (a la izquierda)
El sesgo negativo es el espejo del anterior: la cola larga se extiende hacia la izquierda (hacia los valores bajos), mientras la mayoría de casos se concentra en los valores altos. Ocurre, por ejemplo, en un test muy fácil donde casi todas las personas aciertan casi todo y solo unas pocas obtienen puntuaciones bajas. Aquí la media es menor que la mediana, y la mediana menor que la moda.
5. Curtosis: la altura de la campana
La curtosis describe lo apuntada o achatada que es la distribución respecto de la normal. No mira la simetría (eso lo hace el sesgo), sino la concentración de casos alrededor del centro y en las colas.
| Tipo de curtosis | Forma | Característica | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Leptocurtica | Mas apuntada que la normal | Muchos casos en el centro y en los extremos; pocos en la zona intermedia | Distribución muy concentrada en torno a la media |
| Mesocurtica | Igual que la normal | Distribución normal de referencia | La campana de Gauss clásica |
| Platicurtica | Mas achatada que la normal | Casos mas repartidos; colas cortas | Distribución con poca concentración central |
6. Ejemplo aplicado: tiempos de reacción
Imagina que mides el tiempo de reacción (en milisegundos) de 50 personas en una tarea de atención. Los valores oscilan entre 250 y 650 milisegundos. Sigues los pasos:
- Rango: 650 - 250 = 400.
- Sturges: k = 1 + 3.322 * log10(50), aproximadamente 6.6, redondeado a 7 intervalos.
- Amplitud: A = 400 / 7, aproximadamente 57; redondeado a 60 para que los intervalos sean legibles.
- Intervalos: 250-309, 310-369, 370-429, 430-489, 490-549, 550-609, 610-669.
- Marcas de clase: 279.5, 339.5, 399.5, 459.5, 519.5, 579.5, 639.5.
- Cuentas la frecuencia de cada intervalo, calculas Fi, hi y Hi, verificas que la última Fi sea 50 y la última Hi sea 1.00.
- Dibujas el histograma: probablemente veras sesgo positivo, porque la mayoría responde rápido y unos pocos tardan mucho.
Este ejemplo muestra el recorrido completo: de una lista de números sueltos a una tabla y un gráfico que ya sugieren una interpretación (la mayoría rápida, cola de personas lentas). Eso es lo que aporta una buena distribución de frecuencias.
7. Errores frecuentes en el parcial
8. Para el parcial
- Definir y distinguir fi, Fi, hi y Hi, y construir una tabla completa.
- Aplicar la regla de Sturges y calcular la amplitud del intervalo.
- Que es la marca de clase y para que sirve.
- Diferenciar histograma, polígono de frecuencias y ojiva.
- Identificar sesgo positivo, negativo y simetría a partir de un gráfico o del orden media-mediana-moda.
- Diferenciar leptocurtica, mesocurtica y platicurtica.
- Cuatro columnas: 4F (fi, Fi, hi, Hi). La última Fi vale N y la última Hi vale 1.00.
- Sturges: k = 1 + 3.322 * log10(N). Amplitud: rango / k.
- Marca de clase = punto medio del intervalo.
- Tres gráficos: histograma (forma), polígono (comparar), ojiva (percentiles).
- Sesgo: la cola manda. Positivo = cola a la derecha.
- Curtosis: lepto (alta), meso (normal), plati (baja).
9. Preguntas de autoevaluación
1. Que diferencia hay entre fi y Fi?
fi es la frecuencia absoluta simple: cuantas veces aparece un valor o intervalo. Fi es la frecuencia absoluta acumulada: la suma de las fi hasta ese punto. Fi responde a "cuantos casos hay hasta aquí".
2. Como se calcula el número de intervalos según la regla de Sturges?
Con la formula k = 1 + 3.322 * log10(N), donde N es el número total de datos y log10 es el logaritmo decimal. El resultado se redondea al número entero mas cercano.
3. Que es la marca de clase y como se calcula?
Es el punto central de cada intervalo. Se calcula sumando el limite inferior y el limite superior del intervalo y dividiendo entre dos. Representa al intervalo en los cálculos con datos agrupados.
4. En que se diferencia un histograma de un polígono de frecuencias?
El histograma usa barras contiguas para representar la frecuencia de cada intervalo. El polígono de frecuencias une con lineas las marcas de clase a la altura de cada frecuencia. El polígono es mas útil para comparar distribuciones.
5. Si la media es mayor que la mediana y esta mayor que la moda, que tipo de sesgo tiene la distribución?
Sesgo positivo. La cola larga se extiende hacia la derecha (valores altos), y la media, al ser sensible a los valores extremos, se desplaza en esa dirección.
6. Que es una distribución platicurtica?
Una distribución mas achatada que la normal, con casos mas repartidos y colas cortas. El prefijo "plati" significa ancho o plano.
10. Linea de tiempo: de Sturges a la campana de Gauss
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