En una frase: ordena los datos, mira su forma, despues calcula.
1. Que es una distribucion de frecuencias
Una distribucion de frecuencias es una tabla (o su representacion grafica) que muestra cuantas veces aparece cada valor, o cada intervalo de valores, en un conjunto de datos. Su funcion es sencilla y poderosa: hacer visible la dispersion y la concentracion de las puntuaciones.
Por ejemplo, si aplicas un test a 30 personas y obtienes 30 puntuaciones sueltas, tienes una lista poco legible. Si las agrupas y cuentas cuantas cayeron en cada rango, de repente ves donde se concentra la mayoria, si hay valores extremos, y si la forma se aproxima a la campana de Gauss o se desvia de ella.
1.1. Tipos de frecuencias en la tabla
La tabla de frecuencias clasica no se queda con el simple conteo. Incluye cuatro columnas que se construyen una a partir de la anterior:
- Frecuencia absoluta (fi): cuantas veces aparece cada valor o intervalo.
- Frecuencia absoluta acumulada (Fi): suma de las frecuencias absolutas hasta ese valor o intervalo. Indica cuantos casos hay por debajo de ese punto.
- Frecuencia relativa (hi): la frecuencia absoluta dividida entre el total de datos (fi / N). Se suele expresar en porcentaje.
- Frecuencia relativa acumulada (Hi): suma de las frecuencias relativas hasta ese valor o intervalo. Indica que proporcion del total queda por debajo de ese punto.
| Columna | Simbolo | Que responde |
|---|---|---|
| Frecuencia absoluta | fi | Cuantos casos hay en este valor o intervalo? |
| Frecuencia absoluta acumulada | Fi | Cuantos casos hay hasta aqui? |
| Frecuencia relativa | hi | Que proporcion del total representa? |
| Frecuencia relativa acumulada | Hi | Que proporcion del total hay hasta aqui? |
1.2. Ejemplo: puntuaciones de un test en 20 personas
Supongamos que aplicas un test de atencion a 20 personas y obtienes estas puntuaciones directas: 12, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 20. La tabla de frecuencias (sin agrupar, porque hay pocos valores distintos) seria asi:
| Puntuacion (xi) | fi | Fi | hi | Hi |
|---|---|---|---|---|
| 12 | 1 | 1 | 0.05 | 0.05 |
| 14 | 2 | 3 | 0.10 | 0.15 |
| 15 | 3 | 6 | 0.15 | 0.30 |
| 16 | 4 | 10 | 0.20 | 0.50 |
| 17 | 5 | 15 | 0.25 | 0.75 |
| 18 | 3 | 18 | 0.15 | 0.90 |
| 19 | 1 | 19 | 0.05 | 0.95 |
| 20 | 1 | 20 | 0.05 | 1.00 |
Observa dos cosas: la columna Fi termina en 20 (el total de datos), y la columna Hi termina en 1.00 (el 100% de los casos). Esas son dos comprobaciones rapidas de que la tabla esta bien construida.
fiFihiHi
2. Agrupacion de datos en intervalos
Cuando hay muchas puntuaciones distintas (o cuando la variable es continua), la tabla sin agrupar se vuelve ilegible. En ese caso se agrupan los datos en intervalos de clase: rangos de valores que se tratan como una sola fila de la tabla.
2.1. Cuantos intervalos conviene? La regla de Sturges
Herbert Sturges (1926) propuso una formula empirica para estimar cuantos intervalos usar en funcion del numero de datos. La idea es que con pocos datos basta con pocos intervalos, y que a medida que crece la muestra, conviene afinar con mas intervalos.
Donde N es el numero total de datos y log10 es el logaritmo en base 10. Para N = 30, la regla da unos 5 o 6 intervalos. Para N = 100, da unos 7 u 8. Para N = 1000, unos 10. Es una guia, no una ley: se puede redondear y ajustar segun la legibilidad.
2.2. Amplitud del intervalo
Una vez decidido el numero de intervalos (k), se calcula la amplitud (A) de cada uno:
Si el resultado no es entero, se redondea al alza para que los intervalos cubran el rango completo. Lo habitual es que cada intervalo tenga la misma amplitud, para que la tabla y el grafico sean comparables.
2.3. Marca de clase
El marca de clase (xi) es el punto central de cada intervalo. Se calcula sumando los limites inferior y superior del intervalo y dividiendo entre dos. La marca de clase representa al intervalo entero cuando hay que calcular medias, varianzas u otros estadisticos a partir de datos agrupados.
2.4. Pasos para construir una tabla de frecuencias agrupada
- Identificar el rango: valor maximo menos valor minimo.
- Aplicar Sturges: calcular k = 1 + 3.322 * log10(N).
- Calcular la amplitud: A = rango / k (redondear al alza si hace falta).
- Definir los intervalos: desde el valor minimo, ir sumando A hasta cubrir el maximo.
- Calcular la marca de clase de cada intervalo.
- Contar las frecuencias (fi) de cada intervalo.
- Construir Fi, hi y Hi como en la tabla simple.
- Verificar: que la ultima Fi sea igual a N y la ultima Hi sea 1.00.
3. Representaciones graficas
La tabla organiza los datos; el grafico los hace hablar. Hay tres representaciones clasicas de una distribucion de frecuencias, cada una con su proposito.
3.1. Histograma
El histograma es un grafico de barras contiguas (sin espacio entre ellas) donde cada barra representa un intervalo y su altura corresponde a la frecuencia. Es la representacion mas habitual de una distribucion agrupada.
Observa como las barras dibujan ya la forma de la distribucion: en este caso, una campana simetrica centrada en el intervalo 16-17.
3.2. Poligono de frecuencias
El poligono de frecuencias se construye uniendo con lineas los puntos medios (marcas de clase) de cada intervalo, a la altura de su frecuencia. Suele cerrarse conectando los extremos con el eje horizontal. Es util para comparar dos distribuciones en el mismo grafico, porque las lineas se superponen con facilidad sobre las barras.
3.3. Ojiva
La ojiva (o poligono de frecuencias acumuladas) representa la frecuencia acumulada (Fi o Hi) en el eje vertical. Su forma es creciente de izquierda a derecha, porque cada punto suma los casos anteriores. La ojiva permite leer rapidamente percentiles y medianas: basta con buscar el valor 50% en el eje vertical y proyectar sobre la curva.
| Grafico | Que muestra | Cuando usarlo |
|---|---|---|
| Histograma | Frecuencia por intervalo | Para ver la forma de la distribucion |
| Poligono de frecuencias | Tendencia de la frecuencia | Para comparar varias distribuciones |
| Ojiva | Frecuencia acumulada | Para leer percentiles y medianas |
4. Formas de la distribucion: sesgo
Una vez dibujada la distribucion, su forma ya cuenta cosas. La primera caracteristica que conviene observar es la simetria: la distribucion es simetrica cuando las dos mitades (a izquierda y derecha del centro) son espejo una de la otra. Cuando no lo son, la distribucion esta sesgada.
4.1. Distribucion normal (simetrica)
La distribucion normal tiene forma de campana: la mayoria de casos se concentran en el centro y la frecuencia decrece hacia los extremos de forma simetrica. En psicologia, muchas variables (puntuaciones de CI, tiempos de reaccion promediados) se aproximan a esta forma cuando la muestra es grande. En una distribucion normal, media, mediana y moda coinciden en el mismo punto.
4.2. Sesgo positivo (a la derecha)
La distribucion tiene sesgo positivo cuando la cola mas larga se extiende hacia la derecha (hacia los valores altos). La mayoria de casos se agrupan en los valores bajos, y hay pocos casos con valores muy altos que "estiran" la distribucion. En este caso, la media es mayor que la mediana, y la mediana mayor que la moda.
| Tipo de sesgo | Cola larga hacia | Orden de medidas | Ejemplo psicologico |
|---|---|---|---|
| Sin sesgo (normal) | Simetrica | Media = Mediana = Moda | CI en muestra grande |
| Sesgo positivo | Derecha (valores altos) | Media mayor que Mediana mayor que Moda | Tiempos de reaccion en tarea dificil |
| Sesgo negativo | Izquierda (valores bajos) | Media menor que Mediana menor que Moda | Puntuaciones en test muy facil |
4.3. Sesgo negativo (a la izquierda)
El sesgo negativo es el espejo del anterior: la cola larga se extiende hacia la izquierda (hacia los valores bajos), mientras la mayoria de casos se concentra en los valores altos. Ocurre, por ejemplo, en un test muy facil donde casi todas las personas aciertan casi todo y solo unas pocas obtienen puntuaciones bajas. Aqui la media es menor que la mediana, y la mediana menor que la moda.
5. Curtosis: la altura de la campana
La curtosis describe lo apuntada o achatada que es la distribucion respecto de la normal. No mira la simetria (eso lo hace el sesgo), sino la concentracion de casos alrededor del centro y en las colas.
| Tipo de curtosis | Forma | Caracteristica | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Leptocurtica | Mas apuntada que la normal | Muchos casos en el centro y en los extremos; pocos en la zona intermedia | Distribucion muy concentrada en torno a la media |
| Mesocurtica | Igual que la normal | Distribucion normal de referencia | La campana de Gauss clasica |
| Platicurtica | Mas achatada que la normal | Casos mas repartidos; colas cortas | Distribucion con poca concentracion central |
6. Ejemplo aplicado: tiempos de reaccion
Imagina que mides el tiempo de reaccion (en milisegundos) de 50 personas en una tarea de atencion. Los valores oscilan entre 250 y 650 milisegundos. Sigues los pasos:
- Rango: 650 - 250 = 400.
- Sturges: k = 1 + 3.322 * log10(50), aproximadamente 6.6, redondeado a 7 intervalos.
- Amplitud: A = 400 / 7, aproximadamente 57; redondeado a 60 para que los intervalos sean legibles.
- Intervalos: 250-309, 310-369, 370-429, 430-489, 490-549, 550-609, 610-669.
- Marcas de clase: 279.5, 339.5, 399.5, 459.5, 519.5, 579.5, 639.5.
- Cuentas la frecuencia de cada intervalo, calculas Fi, hi y Hi, verificas que la ultima Fi sea 50 y la ultima Hi sea 1.00.
- Dibujas el histograma: probablemente veras sesgo positivo, porque la mayoria responde rapido y unos pocos tardan mucho.
Este ejemplo muestra el recorrido completo: de una lista de numeros sueltos a una tabla y un grafico que ya sugieren una interpretacion (la mayoria rapida, cola de personas lentas). Eso es lo que aporta una buena distribucion de frecuencias.
7. Errores frecuentes en el parcial
8. Para el parcial
- Definir y distinguir fi, Fi, hi y Hi, y construir una tabla completa.
- Aplicar la regla de Sturges y calcular la amplitud del intervalo.
- Que es la marca de clase y para que sirve.
- Diferenciar histograma, poligono de frecuencias y ojiva.
- Identificar sesgo positivo, negativo y simetria a partir de un grafico o del orden media-mediana-moda.
- Diferenciar leptocurtica, mesocurtica y platicurtica.
- Cuatro columnas: 4F (fi, Fi, hi, Hi). La ultima Fi vale N y la ultima Hi vale 1.00.
- Sturges: k = 1 + 3.322 * log10(N). Amplitud: rango / k.
- Marca de clase = punto medio del intervalo.
- Tres graficos: histograma (forma), poligono (comparar), ojiva (percentiles).
- Sesgo: la cola manda. Positivo = cola a la derecha.
- Curtosis: lepto (alta), meso (normal), plati (baja).
9. Preguntas de autoevaluacion
1. Que diferencia hay entre fi y Fi?
fi es la frecuencia absoluta simple: cuantas veces aparece un valor o intervalo. Fi es la frecuencia absoluta acumulada: la suma de las fi hasta ese punto. Fi responde a "cuantos casos hay hasta aqui".
2. Como se calcula el numero de intervalos segun la regla de Sturges?
Con la formula k = 1 + 3.322 * log10(N), donde N es el numero total de datos y log10 es el logaritmo decimal. El resultado se redondea al numero entero mas cercano.
3. Que es la marca de clase y como se calcula?
Es el punto central de cada intervalo. Se calcula sumando el limite inferior y el limite superior del intervalo y dividiendo entre dos. Representa al intervalo en los calculos con datos agrupados.
4. En que se diferencia un histograma de un poligono de frecuencias?
El histograma usa barras contiguas para representar la frecuencia de cada intervalo. El poligono de frecuencias une con lineas las marcas de clase a la altura de cada frecuencia. El poligono es mas util para comparar distribuciones.
5. Si la media es mayor que la mediana y esta mayor que la moda, que tipo de sesgo tiene la distribucion?
Sesgo positivo. La cola larga se extiende hacia la derecha (valores altos), y la media, al ser sensible a los valores extremos, se desplaza en esa direccion.
6. Que es una distribucion platicurtica?
Una distribucion mas achatada que la normal, con casos mas repartidos y colas cortas. El prefijo "plati" significa ancho o plano.
10. Linea de tiempo: de Sturges a la campana de Gauss
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