En una frase: la desviación estándar es la regla de medida que convierte datos en posicioniciones comparables.
1. Cálculo paso a paso de la desviación estándar muestral
El cálculo de la desviación estándar sigue una secuencia de seis pasos. Cada paso depende del anterior, por lo que saltarse uno o invertir el orden produce un resultado incorrecto.
1.1. Los seis pasos en orden
- Calcular la media: sumar cada dato y dividir entre la cantidad de datos (n).
- Restar la media a cada dato: cada dato menos la media da una desviación individual, que puede ser positiva (el dato esta arriba de la media) o negativa (esta abajo).
- Elevar al cuadrado cada desviación: esto vuelve positivas las desviaciones y penaliza las más grandes.
- Sumar los cuadrados: se obtiene la suma total de las desviaciones al cuadrado.
- Dividir entre n-1: para una muestra, se divide entre la cantidad de datos menos uno (corrección de Bessel, propuesta por Fisher). El resultado es la varianza muestral.
- Raíz cuadrada: se saca la raíz cuadrada de la varianza. El resultado es la desviación estándar muestral, en la misma unidad que los datos originales.
1.2. Ejemplo numerado de cálculo
Supongamos cinco tiempos de reacción en milisegundos: 300, 320, 310, 290, 330.
| Paso | Operación | Resultado |
|---|---|---|
| 1. Media | (300 + 320 + 310 + 290 + 330) / 5 | 310 ms |
| 2. Restar media | 300-310, 320-310, 310-310, 290-310, 330-310 | -10, 10, 0, -20, 20 |
| 3. Elevar al cuadrado | 100, 100, 0, 400, 400 | 100, 100, 0, 400, 400 |
| 4. Sumar cuadrados | 100 + 100 + 0 + 400 + 400 | 1000 |
| 5. Dividir entre n-1 | 1000 / 4 | 250 (varianza) |
| 6. Raíz cuadrada | Raíz de 250 | 15,81 ms (desviación estándar) |
La desviación estándar de esta muestra es 15,81 milisegundos. Esta en la misma unidad que los datos (milisegundos), lo que permite interpretarla: en promedio, los tiempos de reacción se alejan unas 15,81 milisegundos de la media de 310.
2. Desviación muestral (n-1) versus desviación poblacional (N)
La diferencia entre la desviación muestral y la poblacional está en el denominador del paso 5. Si trabajas con la población completa (p. ej., las notas de los 40 estudiantes de un curso, y te interesan esos 40 y no otros), divides entre N. Si trabajas con una muestra (p. ej., 40 estudiantes elegidos al azar de una universidad de 2000) y quieres estimar la dispersión de la población, divides entre n-1.
Fisher demostró que dividir entre n-1 produce una estimación insesgada de la varianza poblacional: en promedio, no se queda corta ni se pasa. Ese menos uno recibe el nombre de corrección de Bessel. En psicología, como habitualmente se trabaja con muestras, la fórmula con n-1 es la opción estándar.
| Aspecto | Muestral | Poblacional |
|---|---|---|
| Denominador | n - 1 | N |
| Uso típico | Estimar la dispersión de la población a partir de una muestra | Describir la dispersión de la población completa |
| Corrección de Bessel | Si (resta uno) | No |
| Cuándo aparece en psicología | En la mayoría de los estudios con muestras | En censo completo o población cerrada |
3. Puntuaciones z: comparación sin unidades
Una puntuación z indica cuántas desviaciones estándar de distancia hay entre un dato y la media de su distribución. Su fórmula, en texto: z = (dato menos media) dividido entre la desviación estándar. El resultado no tiene unidad: queda en desviaciones estándar, lo que permite comparar valores de distribuciones distintas.
3.1. Interpretación de valores z
| Valor z | Significado | Posición respecto a la media |
|---|---|---|
| +2,0 | 2 desviaciones arriba | Muy por encima del promedio |
| +1,5 | 1,5 desviaciones arriba | Por encima del promedio |
| +1,0 | 1 desviación arriba | Sobre el extremo del 68 por ciento central |
| 0 | 0 desviaciones | Igual a la media |
| -1,0 | 1 desviación abajo | Sobre el extremo inferior del 68 por ciento central |
| -2,0 | 2 desviaciones abajo | Muy por debajo del promedio |
3.2. Comparar puntuaciones de tests distintos
El uso más útil de los puntajes z es comparar resultados de tests que miden cosas distintas en escalas distintas. Supongamos que un estudiante obtiene 65 puntos en un test de razonamiento (media 50, desviación 10) y 118 puntos en un test de atención (media 100, desviación 15). ¿En cuál obtuvo un desempeño superior?
- z de razonamiento = (65 - 50) / 10 = 1,5 desviaciones estándar arriba de la media.
- z de atención = (118 - 100) / 15 = 1,2 desviaciones estándar arriba de la media.
- El estudiante obtuvo un desempeño superior en razonamiento (1,5 desviaciones arriba) que en atención (1,2 desviaciones arriba), aunque los puntajes brutos parezcan sugerir lo contrario.
4. Puntuaciones T: media 50, desviación 10
Los puntajes z pueden ser negativos y tener decimales, lo que los hace poco intuitivos para reportar a pacientes o estudiantes. La solución de puntuaciones T (desarrollada en el contexto de la evaluación psicológica) transforma los z en una escala con media 50 y desviación estándar 10. Su fórmula, en texto: T = (z multiplicado por 10) más 50.
| Puntaje z | Cálculo T | Puntaje T |
|---|---|---|
| +2,0 | (2,0 x 10) + 50 | 70 |
| +1,5 | (1,5 x 10) + 50 | 65 |
| 0 | (0 x 10) + 50 | 50 |
| -1,0 | (-1,0 x 10) + 50 | 40 |
| -2,0 | (-2,0 x 10) + 50 | 30 |
La ventaja de T es que no hay valores negativos: un T de 30 ya esta dos desviaciones abajo de la media, pero el número es positivo y más fácil de comunicar.
5. Puntuaciones CI: media 100, desviación 15
Wechsler diseño la escala de cociente de inteligencia (CI) con media 100 y desviación estándar 15. La fórmula, en texto: CI = (z multiplicado por 15) más 100. Un z de 1,0 corresponde a un CI de 115. Un z de -1,0 corresponde a un CI de 85. Esta escala se usa en los tests de inteligencia más conocidos (WAIS, WISC) y es el estándar para reportar resultados de evaluación cognitiva.
| Puntaje z | Cálculo CI | CI (Wechsler) | Interpretación |
|---|---|---|---|
| +2,0 | (2,0 x 15) + 100 | 130 | Muy superior |
| +1,0 | (1,0 x 15) + 100 | 115 | Por encima del promedio |
| 0 | (0 x 15) + 100 | 100 | Promedio |
| -1,0 | (-1,0 x 15) + 100 | 85 | Por debajo del promedio |
| -2,0 | (-2,0 x 15) + 100 | 70 | Muy por debajo del promedio |
6. Tabla comparativa de las tres escalas
| Propiedad | z | T | CI (Wechsler) |
|---|---|---|---|
| Media | 0 | 50 | 100 |
| Desviación estándar | 1 | 10 | 15 |
| Valores negativos | Si | No | No (raramente) |
| Unidad | Desviaciones estándar | Puntos T | Puntos CI |
| Uso típico | Comparación entre distribuciones | Reporte de tests de personalidad | Reporte de tests de inteligencia |
| Fórmula (texto) | (dato - media) / desviación | (z x 10) + 50 | (z x 15) + 100 |
7. La regla 68-95-99,7 de la campana normal
Gauss describió la distribución normal como una campana simetrica donde la media, la mediana y la moda coinciden. En esta distribución, la desviación estándar marca distancias predecibles desde la media:
- 68 por ciento de los datos caen entre la media menos una desviación y la media más una desviación.
- 95 por ciento de los datos caen entre la media menos dos desviaciones y la media más dos desviaciones.
- 99,7 por ciento de los datos caen entre la media menos tres desviaciones y la media más tres desviaciones.
Esta regla solo se aplica cuando los datos siguen una distribución aproximadamente normal. Si la distribución es muy asimétrica, las proporciones no coinciden.
7.1. Aplicación con puntajes CI
Como los CI de Wechsler tienen media 100 y desviación 15, la regla 68-95-99,7 se traduce así:
| Porcentaje | Rango de CI | Límites |
|---|---|---|
| 68 por ciento | 85 a 115 | Media más/menos 1 desviación (15) |
| 95 por ciento | 70 a 130 | Media más/menos 2 desviaciones (30) |
| 99,7 por ciento | 55 a 145 | Media más/menos 3 desviaciones (45) |
Asi, un CI de 130 o más lo obtiene aproximadamente el 2,5 por ciento de la población (la mitad superior de la cola más alla de dos desviaciones). Un CI de 70 o menos lo obtiene aproximadamente el 2,5 por ciento de la población (la mitad inferior de la cola).
8. Teorema de Chebyshev: para toda distribución
Chebyshev demostró un resultado más general que la regla 68-95-99,7: para toda distribución (normal o no), la proporción de datos que caen a más de k desviaciones estándar de la media es a lo sumo 1 dividido entre k al cuadrado. En forma práctica:
| k (desviaciones) | Chebyshev: mínimo dentro | Normal: dentro (referencia) |
|---|---|---|
| 1 | 0 por ciento (no informativo) | 68 por ciento |
| 2 | Al menos 75 por ciento | 95 por ciento |
| 3 | Al menos 89 por ciento | 99,7 por ciento |
El teorema de Chebyshev da un limite inferior: dice que al menos 75 por ciento de los datos caen dentro de más/menos dos desviaciones, sin importar la forma de la distribución. Si la distribución es normal, ese porcentaje sube a 95 por ciento. Chebyshev es conservador pero universal.
9. Errores frecuentes en el parcial
10. Para el parcial
- Los seis pasos del cálculo de la desviación estándar en orden: media, restar, elevar al cuadrado, sumar, dividir entre n-1, raíz.
- Diferencia entre desviación muestral (n-1) y poblacional (N): corrección de Bessel, estimación insesgada de Fisher.
- Fórmula de z en texto: (dato menos media) dividido entre desviación estándar. Interpretación: un z de 1,5 significa 1,5 desviaciones arriba.
- Escalas T (media 50, desviación 10) y CI de Wechsler (media 100, desviación 15): formulas de transformación desde z.
- Regla 68-95-99,7 de la campana normal: qué porcentaje cae en más/menos 1, 2 y 3 desviaciones.
- Teorema de Chebyshev: aplica a toda distribución, limite inferior en más/menos 2 desviaciones es 75 por ciento.
- Comparar puntajes de tests distintos: convertir a z primero, después comparar.
- Desviación estándar: raíz de (suma de desviaciones al cuadrado / n-1). Seis pasos.
- Muestral divide entre n-1, poblacional entre N.
- z = (dato - media) / desviación. Sin unidad: "desviaciones de la media".
- T = (z x 10) + 50. CI = (z x 15) + 100. Ambas son transformaciones de z.
- Normal: 68 por ciento en 1 desviación, 95 por ciento en 2, 99,7 por ciento en 3.
- Chebyshev: universal, mínimo 75 por ciento en 2 desviaciones (toda distribución).
11. Preguntas de autoevaluación
1. Calcula la desviación estándar muestral de los datos: 4, 8, 6, 2, 10. Muestra los seis pasos.
Paso 1: media = (4+8+6+2+10)/5 = 30/5 = 6. Paso 2: desviaciones = 4-6=-2, 8-6=2, 6-6=0, 2-6=-4, 10-6=4. Paso 3: cuadrados = 4, 4, 0, 16, 16. Paso 4: suma = 40. Paso 5: varianza = 40/4 = 10. Paso 6: desviación estándar = raíz de 10 = 3,16.
2. Un estudiante obtiene 72 puntos en un test con media 60 y desviación 8. ¿Cuál es su puntaje z y cómo se interpreta?
z = (72 - 60) / 8 = 12 / 8 = 1,5. El estudiante esta 1,5 desviaciones estándar por encima de la media. En una distribución normal, eso lo ubicaria por encima de aproximadamente el 93 por ciento de los casos (dentro del 7 por ciento superior).
3. En un test A (media 50, desviación 10) obtienes 65. En un test B (media 100, desviación 15) obtienes 118. ¿En cuál tu desempeño fue superior?
zA = (65-50)/10 = 1,5 desviaciones arriba. zB = (118-100)/15 = 1,2 desviaciones arriba. Tu desempeño fue superior en el test A (1,5 desviaciones arriba frente a 1,2). Comparar los puntajes brutos (65 vs 118) seria un error porque las escalas son distintas.
4. ¿Cuál es el puntaje CI de Wechsler equivalente a un z de -1,5? ¿Y el puntaje T?
CI = (-1,5 x 15) + 100 = -22,5 + 100 = 77,5. T = (-1,5 x 10) + 50 = -15 + 50 = 35. Un z de -1,5 corresponde a un CI de 77,5 y un T de 35, ambos a 1,5 desviaciones por debajo de la media.
5. En una distribución normal con media 100 y desviación 15, ¿entre qué valores cae el 95 por ciento central de los casos?
El 95 por ciento cae entre la media menos dos desviaciones y la media más dos desviaciones: 100 - 30 = 70 y 100 + 30 = 130. El 95 por ciento central de los casos está entre CI 70 y CI 130.
6. Una distribución de tiempos de reacción es muy asimétrica (sesgo positivo). ¿Puedes aplicar la regla 68-95-99,7? ¿Qué alternativa tienes?
No. La regla 68-95-99,7 solo aplica a distribuciones normales. Para una distribución asimétrica, se aplica el teorema de Chebyshev, que garantiza que al menos 75 por ciento de los datos caen dentro de más/menos dos desviaciones estándar, sin importar la forma de la distribución.
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