Chi-cuadrado y pruebas no paramétricas
En una frase: frecuencias observadas contra frecuencias esperadas.
1. Cuándo elegir una prueba no paramétrica
Las pruebas paramétricas (como la t de Student o el ANOVA) piden tres condiciones: escala de intervalo o razon, normalidad de la variable y varianzas similares entre grupos. Cuando alguna de esas condiciones no se cumple, las pruebas no paramétricas ofrecen una alternativa valida. No estiman parámetros poblacionales (de ahi el nombre), sino que trabajan con rangos o con frecuencias.
Dato nominal
Categorias sin orden: sexo, tipo de terapia, respuesta si/no. Se cuenta cuántos caen en cada casillero.
Dato ordinal
Rangos o niveles ordenados sin distancia fija: nivel educativo, puesto en una carrera.
Muestra pequeña
Con N por debajo de 30, la curva normal es difícil de sostener. La no paramétrica es más confiable.
No normalidad
Distribuciones asimétricas o con datos extremos. Las pruebas por rangos son robustas ante eso.
2. Chi-cuadrado de bondad de ajuste
Responde una pregunta sencilla: ¿se ajustan las frecuencias observadas a un modelo teórico? La hipótesis nula dice que las proporciones observadas coinciden con las esperadas. Por ejemplo, si un dado esta equilibrado, cada cara debería caer una de seis veces; si una moneda es justa, cara y cruz aparecen la mitad de las veces cada una.
Frecuencia observada (O)
Lo que cuenta el investigador en cada categoría. Por ejemplo: 22 eligieron la opción A, 18 la B, 10 la C.
Frecuencia esperada (E)
Lo que predice el modelo bajo la hipótesis nula. Si las tres opciones son equiprobables, E seria 16.7 cada una.
3. Chi-cuadrado de independencia
Evalúa si dos variables categóricas están asociadas. La hipótesis nula afirma que las variables son independientes: conocer el valor de una no ayuda a predecir el valor de la otra. Se organiza en una tabla de contingencia, donde cada celda combina una categoría de la fila con una categoría de la columna.
3.1. Tabla de contingencia esquematizada
Ejemplo: 80 pacientes, dos tipos de terapia y dos resultados. Así se ve la tabla antes de calcular nada.
Las frecuencias esperadas se calculan así: (total de la fila por total de la columna) dividido entre el total general. Para la celda Terapia A / Mejoria: (40 por 48) / 80 = 24. Luego se aplica la misma fórmula: suma de (O - E)² / E en cada celda.
3.2. Grados de libertad
- Bondad de ajuste: grados de libertad = número de categorías menos uno (k - 1).
- Independencia: grados de libertad = (filas menos uno) por (columnas menos uno), escrito (f - 1)(c - 1).
- Con esos grados de libertad y un nivel de significación (0.05 o 0.01) se busca el valor crítico en la tabla de chi-cuadrado.
gl independencia(f-1)(c-1)k-1 bondad
4. Supuestos del chi-cuadrado
| Supuesto | Qué significa | Qué pasa si se rompe |
|---|---|---|
| Frecuencias esperadas mayores a 5 | En cada celda, E debería ser de al menos 5 | El estadístico se vuelve inestable; conviene agrupar categorías o usar la prueba exacta de Fisher |
| Independencia de observaciones | Cada sujeto aporta un dato a una sola celda | Si se mide al mismo sujeto varias veces, chi-cuadrado no aplica; se usa McNemar |
| Muestra suficiente | N total razonable para el número de celdas | Con muestras muy pequeñas, pocas celdas superan E = 5 |
5. Otras pruebas no paramétricas
Cuando los datos son ordinales o de intervalo pero sin normalidad, hay alternativas no paramétricas que sustituyen a las pruebas paramétricas clásicas. Cada una tiene su contraparte.
| Contraparte paramétrica | Prueba no paramétrica | Cuándo se usa |
|---|---|---|
| t de Student para muestras independientes | Mann-Whitney U (Mann y Whitney, 1947) | Comparar dos grupos independientes con datos ordinales o sin normalidad |
| t de Student para muestras relacionadas | Wilcoxon (Wilcoxon, 1945) | Dos mediciones emparejadas (antes y después) en escala ordinal |
| ANOVA de un factor | Kruskal-Wallis (Kruskal y Wallis, 1952) | Tres o más grupos independientes; compara los rangos promedio |
| ANOVA de medidas repetidas | Friedman (Friedman, 1937) | Tres o más mediciones emparejadas en los mismos sujetos |
6. Paramétrica o no paramétrica: árbol de decisión
¿Escala de intervalo o razon?
Si la respuesta es no (nominal u ordinal), se descarta la paramétrica.
¿Distribucion normal?
Si los datos son asimétricos o hay valores extremos, la no paramétrica gana terreno.
¿Muestra grande?
Con N alto la paramétrica resiste desviaciones de la normalidad (teorema del limite central).
¿Varianzas similares?
Si los grupos difieren mucho en variabilidad, la paramétrica pierde fuerza.
Si en algun paso la respuesta es NO, se desciende a la alternativa no paramétrica correspondiente.
7. Errores frecuentes en el parcial
8. Para el parcial
- La fórmula del estadístico chi-cuadrado: suma de (O - E)² / E.
- La diferencia entre bondad de ajuste (una variable) e independencia (dos variables).
- Los grados de libertad: k - 1 para bondad, (f - 1)(c - 1) para independencia.
- El supuesto de frecuencias esperadas mayores a 5.
- La equivalencia entre pruebas paramétricas y no paramétricas (Mann-Whitney, Wilcoxon, Kruskal-Wallis, Friedman).
- No paramétrica: nominal, ordinal, muestra chica o sin normalidad.
- Bondad de ajuste: una variable, frecuencias observadas contra esperadas.
- Independencia: dos variables, tabla de contingencia, gl = (f - 1)(c - 1).
- Estadistico: suma de (O - E)² / E. Mayor valor, mayor desajuste.
- Supuesto clave: frecuencias esperadas (no observadas) de al menos 5 por celda.
9. Preguntas de autoevaluación
1. ¿En qué se diferencia el chi-cuadrado de bondad de ajuste del de independencia?
El de bondad compara las frecuencias observadas de una sola variable contra un modelo teórico (por ejemplo, equiprobabilidad). El de independencia cruza dos variables categóricas en una tabla de contingencia para evaluar si están asociadas.
2. ¿Cómo se calculan los grados de libertad en una tabla de 3 filas por 2 columnas?
Para independencia: (f - 1)(c - 1) = (3 - 1)(2 - 1) = 2. Para bondad de ajuste seria k - 1, pero aquí hay dos variables, así que aplica la fórmula de independencia.
3. ¿Qué prueba no paramétrica sustituye a la t de Student para muestras independientes?
La prueba U de Mann-Whitney (1947). Compara los rangos de dos grupos independientes cuando los datos son ordinales o no cumplen el supuesto de normalidad.
4. ¿Por qué se exige que las frecuencias esperadas sean de al menos 5?
Porque el chi-cuadrado aproxima una distribución continua a partir de datos discretos. Cuando las frecuencias esperadas son bajas, la aproximación pierde precisión y el estadístico deja de ser confiable.
5. Si el valor p del chi-cuadrado es menor a 0.05, ¿qué se concluye?
Que se rechaza la hipótesis nula de independencia (o de bondad de ajuste). Hay evidencia de asociación entre las variables o de que las frecuencias no se ajustan al modelo. Recordar: significancia estadística no implica asociación fuerte; para la magnitud se usa el coeficiente phi o la V de Cramer.
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